【題目】如圖1,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,點P在邊AD上運動,以P為圓心,PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A,E兩點.
(1)如圖2,當(dāng)⊙P與邊CD相切于點F時,求AP的長;
(2)不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)⊙P與邊CD相切時,⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點,隨著AP的變化,⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數(shù)也在變化,若公共點的個數(shù)為4,直接寫出相對應(yīng)的AP的值的取值范圍 .
【答案】(1)AP=;(2)<AP<或AP=5.
【解析】
(1)如圖2所示,連接PF,在Rt△ABC中,利用勾股定理求出AC=8,設(shè)AP=x,則DP=10﹣x,PF=x,由⊙P與邊CD相切于點F,根據(jù)已知可推導(dǎo)得出△DPF∽△DAC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得AP長;
(2)當(dāng)⊙P與BC相切時,設(shè)切點為G,如圖3,利用面積法求出PG=,然后分兩種情況①⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點,②⊙P過點A、C、D三點,分別討論即可得.
(1)如圖2所示,連接PF,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC==8,
設(shè)AP=x,則DP=10﹣x,PF=x,
∵⊙P與邊CD相切于點F,
∴PF⊥CD,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
∵AB⊥AC,
∴AC⊥CD,
∴AC∥PF,
∴△DPF∽△DAC,
∴,
∴,
∴x=,即AP=;
(2)當(dāng)⊙P與BC相切時,設(shè)切點為G,如圖3,
SABCD=×6×8×2=10PG,
PG=,
①當(dāng)⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點時,<AP<,即此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數(shù)為4,
②⊙P過點A、C、D三點,如圖4,⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數(shù)為4,
此時AP=5,
綜上所述,AP的值的取值范圍是:<AP<或AP=5.
故答案為:<AP<或AP=5.
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【題目】(1)如圖1,四邊形ABCD是正方形,G是BC上的任意一點,DE⊥AG,BF⊥AG,垂足分別為點E,F.求證:;
(2)在圖1的基礎(chǔ)上,若過點C作CH⊥DE,垂足為點H,連接AH,CF,如圖2.求證:四邊形AFCH為平行四邊形.
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【題目】小穎和小紅兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)“概率”時,做投擲骰子(質(zhì)地均勻的正方體)實驗,他們共做了60次實驗,實驗的結(jié)果如下:
(1)計算“3點朝上”的頻率和“5點朝上”的頻率.
(2)小穎說:“根據(jù)實驗,一次實驗中出現(xiàn)5點朝上的概率最大”;小紅說:“如果投擲600次,那么出現(xiàn)6點朝上的次數(shù)正好是100次.”小穎和小紅的說法正確嗎?為什么?
(3)小穎和小紅各投擲一枚骰子,用列表或畫樹狀圖的方法求出兩枚骰子朝上的點數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率.
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【題目】如圖,長方形ABCD中,AB=4,AD=2.點Q與點P同時從點A出發(fā),點Q以每秒1個單位的速度沿A→D→C→B的方向運動,點P以每秒3個單位的速度沿A→B→C→D的方向運動,當(dāng)P,Q兩點相遇時,它們同時停止運動.設(shè)Q點運動的時間為(秒),在整個運動過程中,當(dāng)△APQ為直角三角形時,則相應(yīng)的的值或取值范圍是_________.
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【題目】如圖,校園內(nèi)有兩幢高度相同的教學(xué)樓AB,CD,大樓的底部B,D在同一平面上,兩幢樓之間的距離BD長為24米,小明在點E(B,E,D在一條直線上)處測得教學(xué)樓AB頂部的仰角為45°,然后沿EB方向前進8米到達點G處,測得教學(xué)樓CD頂部的仰角為30°.已知小明的兩個觀測點F,H距離地面的高度均為1.6米,求教學(xué)樓AB的高度AB長.(精確到0.1米)參考值:≈1.41,≈1.73.
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【題目】解方程:
(1)x2-4x-1=0;
(2)x2+3x-2=0;
(3)2x2+3x+3=0;
(4)(2x-1)2=x(3x+2)-7.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,則下列結(jié)論:① △ODC是等邊三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°; ④S△AOE=S△COE,其中正確的結(jié)論的個數(shù)有
A.1 B.2 C.3 D.4
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【題目】正方形ABCD的邊長為6cm,點E,M分別是線段BD,AD上的動點,連接AE并延長,交邊BC于F,過M作MN⊥AF,垂足為H,交邊AB于點N.
(1)如圖①,若點M與點D重合,求證:AF=MN;
(2)如圖②,若點M從點D出發(fā),以1cm/s的速度沿DA向點A運動,同時點E從點B出發(fā),以cm/s的速度沿BD向點D運動,運動時間為ts.
①設(shè)BF=ycm,求y關(guān)于t的函數(shù)表達式;
②當(dāng)BN=2AN時,連接FN,求FN的長.
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