【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+4x軸于點A(﹣2,0)和B(BA右側(cè)),交y軸于點C,直線y=經(jīng)過點B,交y軸于點D,且DOC中點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若P是第一象限拋物線上的一點,過P點作PHBDH,設(shè)P點的橫坐標(biāo)是t,線段PH的長度是d,求dt的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)d=時,將射線PH繞著點P順時針方向旋轉(zhuǎn)45°交拋物線于點Q,求點Q的坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)P(,);(3)Q(0,4).

【解析】試題分析:(1)首先求出點B坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可解決問題.

(2)設(shè)Pt,﹣t2+t+4),,cos∠HPM=cos∠DBO,可得,由此構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

(3) 過點PPFx軸于點F,過點HHGPF于點G,BDPQ交于點N,NNEHGE.由全等三角形PHG≌△HNE的性質(zhì),(2)中函數(shù)解析式求得點P、N的坐標(biāo),然后由直線與拋物線的解析式求得交點Q的坐標(biāo).

解:(1)y=2kx﹣12k 經(jīng)過B點,

∴當(dāng)y=0,x=6,

B(6,0),又∵A(﹣2,0),

解得,

y=﹣x2+x+4.

(2)如圖,過點PPMy軸交BD于點M,設(shè)P(t,﹣t2+t+4),

CD=OD,

當(dāng)x=0y=4,

C(0,4)

OD=2,

D(0,2),

BD=2,

設(shè)直線BD解析式為y=mx+n,

6m+n=0,n=2,

yBD=﹣x+2,

M(t,﹣t+2),

PM=﹣t2+t+2,

∵∠HPM=DBO,

cosHPM=cosDBO,

=,

=,

d=﹣t2+t+,

d=﹣(t﹣2+,

∴當(dāng)t=時,PH值最大,

P(,).

(3)過點PPFx軸于點F,過點HHGPF于點G,BDPQ交于點N,過NNEHGE.

∵∠HPN=45°,PHBD,

PH=HN,

∴△PHG≌△HNE,

HG=NE,PG=EH,

∵由(2)知,d=﹣t2+t+,即:d=﹣(t﹣2+,

∴當(dāng)t=時,PH=,

P().

當(dāng)PH=時,HG=PG=

EH=,EN=,

N(﹣),P(),

yPN=x+4,

,

解得,

Q(0,4).

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