【題目】如圖,茬四邊形ABCD中,AD∥BC,E是BC的中點(diǎn),AC平分∠BCD,且AC⊥AB,接DE,交AC于F.
(1)求證:AD=CE;
(2)若∠B=60°,試確定四邊形ABED是什么特殊四邊形?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)證明:∵AC平分∠BCD,

∴∠BCA=∠DCA,

∵AD∥BC,

∴∠DCA=∠DAC,

∴AD=CD,

∵AB⊥AC,E是BC的中點(diǎn),

∴AE=CE=BE= BC,

∴DE⊥AC,AF=CF,

∴∠AFD=∠CFE=90°,

∴△AFD≌△CFE,

∴AD=CE


(2)解:當(dāng)∠B=60°,時(shí),四邊形ABED是菱形,

∵AB⊥AC,DE⊥AC,

∴AB∥DE,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

∵AE=BE,∠B=60°,

∴△ABE是等邊三角形,

∴AB=BE

∴平行四邊形AECF是菱形


【解析】(1)先由角平分線和平行線的得出AD=CD,從而得出△AFD≌△CFE,即可;(2)先判斷出四邊形AECF是平行四邊形,再判斷出AB=BE即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平行線的性質(zhì)和菱形的判定方法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);任意一個(gè)四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對(duì)角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對(duì)角線若垂直,順理成章為菱形.

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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,ECD的中點(diǎn),連接AE、BE,BEAE,延長(zhǎng)AEBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

求證:(1)FC=AD;

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【題目】如圖,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,AE BC 邊的中線,過(guò)點(diǎn)C CF⊥AE,垂足為點(diǎn) F,過(guò)點(diǎn) B BD⊥BC CF 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D.

(1)試證明:AE=CD;

(2)若 AC=12cm,求線段 BD 的長(zhǎng)度.

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【題目】如圖,已知△ABC 中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,點(diǎn) D AB的中點(diǎn).

(1)如果點(diǎn) P 在線段 BC 上以 1cm/s 的速度由點(diǎn) B 向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn) Q 在線段 CA 上由點(diǎn) C 向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng).

若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過(guò) 1 秒后,△BPD △CQP 是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理由;

若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使△BPD △CQP 全等?

(2)若點(diǎn) Q 以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) C 出發(fā),點(diǎn) P 以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā),都逆時(shí)針沿△ABC 三邊運(yùn)動(dòng),則經(jīng)過(guò) 后,點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 第一次在△ABC 的 邊上相遇?(在橫線上直接寫出答案,不必書寫解題過(guò)程)

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【題目】已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,D重合),連接AE,以AE為邊在AE的右側(cè)作菱形AEFG,且∠AEF=60°.

(1)如圖1,若點(diǎn)F落在線段BD上,請(qǐng)判斷:線段EF與線段DF的數(shù)量關(guān)系是.
(2)如圖2,

若點(diǎn)F不在線段BD上,其它條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)給出判斷并予以證明;
(3)若點(diǎn)C,E,G三點(diǎn)在同一直線上,其它條件不變,請(qǐng)直接寫出線段BE與線段BD的數(shù)系.

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