Question

如圖，已知點M，N，P，Q分別是凸四邊形ABCD四邊的中點，在下列4個命題中：
①四邊形MNPQ是梯形；
②當(dāng)四邊形ABCD的對角線相等時，四邊形MNPQ是菱形；
③當(dāng)四邊形ABCD的對角線垂直時，四邊形MNPQ是矩形；
④當(dāng)四邊形ABCD的對角線相等且垂直時，四邊形MNPQ是正方形．
正確的有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：連接AC、BD，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MN∥AC，MN=

1

2

AC，PQ∥AC，PQ=

1

2

AC，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形MNPQ是平行四邊形，再根據(jù)對角線的情況對②③④小題進行判定即可得解．

解答：解：如圖，連接AC、BD，
∵點M，N，P，Q分別是凸四邊形ABCD四邊的中點，
∴MN∥AC，MN=

1

2

AC，PQ∥AC，PQ=

1

2

AC，
∴MN∥PQ，MN=PQ，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形，故①小題錯誤；
當(dāng)四邊形ABCD的對角線相等時，同理可得NP=MQ=

1

2

BD，
所以，MN=NP=PQ=MQ，
所以，四邊形MNPQ是菱形，故②小題正確；
當(dāng)四邊形ABCD的對角線垂直時，可以證明∠M=90°，
所以，四邊形MNPQ是矩形，故③小題正確；
當(dāng)四邊形ABCD的對角線相等且垂直時，四邊形MNPQ既是菱形也是矩形，所以是正方形，故④小題正確，
綜上所述，正確的是②③④共3個．
故選C．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定，矩形的判定以及正方形的判定，連接對角線，利用三角形的中位線定理得到四邊形MNPQ的邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．