Question

為了扶持大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府提供了50萬(wàn)元無(wú)息貸款，用于某大學(xué)生開辦公司，生產(chǎn)并銷售自主研發(fā)的一種電子產(chǎn)品，并約定用該公司經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)逐步償還無(wú)息貸款．已知該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件20元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其他費(fèi)用5萬(wàn)元．該產(chǎn)品每月銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求月銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為25元時(shí)，為保證公司月利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元（利潤(rùn)=銷售額-生產(chǎn)成本-員工工資-其它費(fèi)用），該公司可安排員工多少人？
（3）若該公司有40名員工，則該公司最早可在幾個(gè)月后還清無(wú)息貸款？

Answer 1

分析：（1）從圖中看，這是一個(gè)分段一次函數(shù)，20≤x≤30和30≤x≤40時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式不同，每段函數(shù)都經(jīng)過兩點(diǎn)，使用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用（1）中的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)銷售單價(jià)定為25元時(shí)，可計(jì)算出月銷售量，設(shè)可安排員工m人，利潤(rùn)=銷售額一生產(chǎn)成本-員工工資-其它費(fèi)用，列出方程即可解；
（3）先分情況討論出利潤(rùn)的最大值，即可求解．

解答：解：（1）當(dāng)20≤x≤30時(shí)，令y=kx+b（k≠0），
則

20k+b=4 30k+b=2

，
解得

k=- 1 5 b=8

，
故y=-

1

5

x+8，
同理，當(dāng)30≤x≤40時(shí)，y=-

1

10

+5．
綜上所述，

- 1 5 x+8(20≤x≤30) - 1 10 x+5(30≤x≤40)

；

（2）設(shè)公司可安排員工a人，定價(jià)25元時(shí)，
由5=（-

1

5

×25+8）（50-40）-15-0.25a，
得30-15-0.25a=5，
解得a=40，
所以公司可安排員工40人；

（3）當(dāng)30≤x≤40時(shí)，
利潤(rùn)w₁=（-

1

10

x+5）（x-30）-15-20=-

1

10

（x-60）²+5，
則當(dāng)x=60時(shí)，w_max=5萬(wàn)元；
當(dāng)60＜x＜100時(shí)，
w₂=（-

1

20

x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

20

（x-70）²+10，
∴x=70時(shí)，w_max=10萬(wàn)元，
∴要盡早還清貸款，只有當(dāng)單價(jià)x=70元時(shí)，獲得最大月利潤(rùn)10萬(wàn)元，
設(shè)該公司n個(gè)月后還清貸款，則10n≥80，
∴n≥8，即n=8為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)與一次不等式的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用．是一道綜合性較強(qiáng)的代數(shù)應(yīng)用題，能力要求比較高．