Question

【題目】成都地鐵規(guī)劃到2020年將通車13條線路，近幾年正是成都地鐵加緊建設(shè)和密集開通的幾年，市場(chǎng)對(duì)建材的需求量有所提高，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析可預(yù)測(cè)：投資水泥生產(chǎn)銷售后所獲得的利潤(rùn)y1（萬(wàn)元）與投資資金量x（萬(wàn)元）滿足正比例關(guān)系y1=20x；投資鋼材生產(chǎn)銷售的后所獲得的利潤(rùn)y2（萬(wàn)元）與投資資金量x（萬(wàn)元）滿足函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點(diǎn)，AB∥x軸）．

（1）直接寫出當(dāng)0＜x＜30及x＞30時(shí)，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）某建材經(jīng)銷公司計(jì)劃投資100萬(wàn)元用于生產(chǎn)銷售水泥和鋼材兩種材料，若設(shè)投資鋼材部分的資金量為t（萬(wàn)元），生長(zhǎng)銷售完這兩種材料后獲得的總利潤(rùn)為W（萬(wàn)元）．
①求W與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②若要求投資鋼材部分的資金量不得少于45萬(wàn)元，那么當(dāng)投資鋼材部分的資金量為多少萬(wàn)元時(shí)，獲得的總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)0＜x≤30時(shí)，根據(jù)題意設(shè)y2=a（x﹣30）2+900，

將原點(diǎn)（0，0）代入，得：900a+900=0，解得：a=﹣1，

∴y2=﹣（x﹣30）2+900=﹣x2+60x，

當(dāng)x＞30時(shí)，y2=900

（2）解：①設(shè)投資鋼材部分的資金量為t萬(wàn)元，則投資生產(chǎn)水泥的資金量為（100﹣t）萬(wàn)元，

當(dāng)0＜t≤30時(shí)，W=y1+y2=20（100﹣t）+（﹣t2+60t）=﹣t2+40t+2000，

當(dāng)t＞30時(shí)，W=20（100﹣t）+900=﹣20t+2900；

②∵t≥45，

∴W=﹣20t+2900，W隨t的增大而減小，

∴當(dāng)t=45時(shí)，W最大值=2000萬(wàn)元

答：當(dāng)投資鋼材部分的資金量為45萬(wàn)元時(shí)，獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是2000萬(wàn)元．

【解析】（1）當(dāng)0＜x≤30時(shí)，根據(jù)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)設(shè)其頂點(diǎn)式，將原點(diǎn)代入可得其解析式，當(dāng)x＞30時(shí)，可得y2=900；（2）①設(shè)投資鋼材部分的資金量為t萬(wàn)元，則投資生產(chǎn)水泥的資金量為（100﹣t）萬(wàn)元，分0＜t≤30、t＞30兩種情況，根據(jù)W=y1+y2可得函數(shù)關(guān)系式；
②由t≥45可知W=﹣20t+2900，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得最值情況．