Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與邊AB，BC分別交于點(diǎn)D，E．過E的直線與⊙O相切，與AC的延長線交于點(diǎn)G，與AB交于點(diǎn)F．

（1）求證：△BDE為等腰三角形；
（2）求證：GF⊥AB；
（3）若⊙O半徑為3，DF=1，求CG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ACED是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠ACB+∠ADE=180°，

∵∠BDE+∠ADE=180°，

∴∠BDE=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

∴∠B=∠BDE，

∴△BDE為等腰三角形

（2）證明：連結(jié)OE，

∵直線FG與⊙O相切，

∴∠OEG=90°，

∵OC=OE，

∴∠OEC=∠ACB，

∵∠B=∠ACB，

∴∠B=∠OEC，

∴OE∥AB，

∴∠AFG=∠OEG=90°，

即GF⊥AB

（3）解：設(shè)CG=x．

∵△BDE為等腰三角形，GF⊥AB，

∴BF=DF=1，AF=AB﹣BF=AC﹣BF=5，

∵OE∥AB，

∴△GOE∽△GAF，

∴ = ，

∴ = ，

解得x= ，

即CG= ．

【解析】（1）由四邊形ACED是⊙O的內(nèi)接四邊形，得到∠ACB+∠ADE=180°，由于∠BDE+∠ADE=180°，得到∠BDE=∠ACB，即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OEG=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OEC=∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論
（3）設(shè)CG=x．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BF=DF=1，AF=AB-BF=AC-BF=5，由相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）；把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形即可以解答此題．