【題目】閱讀理解題
(1)閱讀理解:如圖①,等邊內(nèi)有一點(diǎn),若點(diǎn)到頂點(diǎn),,的距離分別為3,4,5,求的大小.
思路點(diǎn)撥:考慮到,,不在一個(gè)三角形中,采用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,可以將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處,此時(shí),這樣,就可以利用全等三角形知識(shí),結(jié)合已知條件,將三條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中,從而求出的度數(shù).請(qǐng)你寫出完整的解題過程.
(2)變式拓展:請(qǐng)你利用第(1)題的解答思想方法,解答下面問題:
已知如圖②,中,,,、為上的點(diǎn)且,,,求的大小.
(3)能力提升:如圖③,在中,,,,點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn),連接,,,且,請(qǐng)直接寫出的值,即______.
【答案】
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等,全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答;
(2)把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,,,,再求出,從而得到,然后利用“邊角邊”證明和全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得,再利用勾股定理列式即可得證.
(3)將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處,連接,根據(jù)直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出,即的長(zhǎng),再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得,等邊三角形三個(gè)角都是求出,然后求出、、、四點(diǎn)共線,再利用勾股定理列式求出,從而得到.
解:(1),
由題意知旋轉(zhuǎn)角,
為等邊三角形,
,
易證為直角三角形,且 ,
,
故答案為:;
(2)如圖2,把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得, ,
,
在和中,
,
,
由勾股定理得, ,
即,
.
(3)如圖3,將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處,連接,
在中, ,
,
,
繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),
如圖所示;
,
繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到,
,
是等邊三角形,
,
,
四點(diǎn)共線,
在中,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,點(diǎn)C是優(yōu)弧ACB的中點(diǎn),D、E分別是OA、OB上的點(diǎn),且AD=BE,弦CM、CN分別過點(diǎn)D、E.
(1)求證:CD=CE.
(2)求證:=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形過點(diǎn)A的直線與軸交于點(diǎn)E,
(1)求點(diǎn)E坐標(biāo)。
(2)求過A,O,E三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式。
(3)若P是(2)中求出的拋物線AE段上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A、E重合),設(shè)四邊形OAPE的面積為S,求S的最大值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù),求:
求滿足條件的值;
當(dāng)拋物線開口向下時(shí),請(qǐng)寫出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
為何值時(shí),拋物線有最小值?最小值是多少?當(dāng)為何值時(shí),隨的增大而增大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法:①如果兩個(gè)三角形全等,那么這兩個(gè)三角形一定成軸對(duì)稱;②數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng);③若,則;④兩個(gè)無理數(shù)的和一定為無理數(shù);⑤精確到十分位;⑥如果一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根等于它本身,那么這個(gè)數(shù)是0.其中正確的說法有______.(填序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O 的內(nèi)接四邊形 ABCD 兩組對(duì)邊延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) E、F.
(1)若∠E=∠F,求證:∠ADC=∠ABC;
(2)若∠E=∠F=40°,求∠A 的度數(shù);
(3)若∠E=30°,∠F=40°,求∠A 的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,點(diǎn)在的內(nèi)部,,在、上分別取點(diǎn)、,使的周長(zhǎng)最短,則周長(zhǎng)的最小值為( )
A.4B.8C.16D.32
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,D在邊CB上,且DB=DA=AC
(1)填空:如圖1,∠B= °,∠C= °;
(2)如圖2,若M為線段BC上的點(diǎn),過M作MH⊥AD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,分別交直線AB、AC與點(diǎn)N、E.
①求證:△ANE是等腰三角形;
②線段BN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形中,為正方形的外角的角平分線,點(diǎn)在線段上,過點(diǎn)作于點(diǎn),連接,過點(diǎn)作于點(diǎn),交射線于點(diǎn).
()如圖1,若點(diǎn)與點(diǎn)重合.
①依題意補(bǔ)全圖1.
②判斷與的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
()如圖2,若點(diǎn)恰好在線段上,正方形的邊長(zhǎng)為,請(qǐng)寫出求長(zhǎng)的思路(可以不寫出計(jì)算結(jié)果).
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