Question

如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心、OA長為半徑作⊙O，⊙O經(jīng)過B、D兩點，過點B作BK⊥AC，垂足為K，過點D作DH∥KB，DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H。

（1）求證：AE＝CK

（2）若AB＝a，AD＝a（a為常數(shù)），求BK的長（用含a的代數(shù)式表示）。

（3）若F是EG的中點，且DE＝6，求⊙O的半徑和GH的長。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3），6．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)ABCD是矩形，求證△BKC≌△ADE即可；

（2）根據(jù)勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形的面積公式得出AB×BC=AC×BK，代入即可求得BK．

（3）根據(jù)三角形中位線定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求證AE=AC，然后即可求得AC即可．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAE=∠BCK，

∵BK⊥AC，DH∥KB，

∴∠BKC=∠AED=90°，

∴△BKC≌△ADE，

∴AE=CK；

（2）【解析】
∵AB=a，AD=a=BC，

∴

∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，

∴BK=

（3）連結(jié)OG，

∵AC⊥DG，AC是⊙O的直徑，DE=6，∴DE=EG=6，

又∵EF=FG，∴EF=3；

∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，

在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，

∴EF是△ABK的中位線，

∴AF=BF，AE=EK=KC；

在Rt△OEG中，設(shè)OG=r，則OE=，EG=6，，

∴，

∴．

連接BG可得△BGF≌△AEF，AF=BF，△ADF≌△BHF

∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，

∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6．

考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．三角形中位線定理；4．垂徑定理．