Question

【題目】如圖，Rt△OAB的直角邊OA在x軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），直線CD交AB于點(diǎn)D（6，3），交x軸于點(diǎn)C（12，0）．

（1）求直線CD的函數(shù)表達(dá)式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)（﹣10，0）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線l垂直于x軸，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

①點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得∠PDA=∠B？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②請(qǐng)?zhí)剿鳟?dāng)t為何值時(shí)，在直線l上存在點(diǎn)M，在直線CD上存在點(diǎn)Q，使得以OB為一邊，O，B，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，并求出此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）直線CD的解析式為y=﹣x+6；（2）①滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（，0）．②滿足條件的t的值為或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（2）①如圖1中，作DP∥OB，則∠PDA=∠B．利用平行線分線段成比例定理，計(jì)算即可，再根據(jù)對(duì)稱性求出P′；

②分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題：如圖2中，當(dāng)OP=OB=10時(shí)，作PQ∥OB交CD于Q．如圖3中，當(dāng)OQ=OB時(shí)，設(shè)Q（m，﹣m+6），構(gòu)建方程求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；

（1）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，則有

，

解得，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+6．

（2）①如圖1中，作DP∥OB，則∠PDA=∠B．

∵DP∥OB，

∴，

∴，

∴，

∴OP=6﹣，

∴P（，0），

根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)AP=AP′時(shí)，P′（，0），

∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（，0）．

②如圖2中，當(dāng)OP=OB=10時(shí)，作PQ∥OB交CD于Q．

∵直線OB的解析式為y=x，

∴直線PQ的解析式為y=x+，

由，

解得，

∴Q（﹣4，8），

∴PQ==10，

∴PQ=OB．

∵PQ∥OB，

∴四邊形OBQP是平行四邊形．

∵OB=OP，

∴四邊形OBQP是菱形，此時(shí)點(diǎn)M與的Q重合，滿足條件，t=0．

如圖3中，當(dāng)OQ=OB時(shí)，設(shè)Q（m，﹣m+6），

則有m2+（﹣m+6）2=102，解得m=，

∴點(diǎn)Q 的橫坐標(biāo)為或，

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，則有：或，

∴a=或，

∴滿足條件的t的值為或．