Question

（2012•寬城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一矩形ABCD，已知A（1，3），B（3，3），D（1，-1）．有兩條拋物線l₁、l₂都經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且關(guān)于AB所在直線對稱，其中拋物線l₁經(jīng)過原點(diǎn)，拋物線l₂交y軸于點(diǎn)E．設(shè)P、Q兩點(diǎn)分別在拋物線l₁、l₂上運(yùn)動．
（1）求拋物線l₁的解析式．
（2）直接寫出拋物線l₂的解析式．
（3）當(dāng)四邊形ADPQ為平行四邊形時，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
（4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到拋物線l₁的頂點(diǎn)時，設(shè)直線PQ的解析式y(tǒng)=kx+b．
①若直線PQ經(jīng)過點(diǎn)D，交線段AB于F，求△ADF的面積．
②若直線PQ分得矩形ABCD較小部分的面積大于0且不超過矩形ABCD面積的

1

5

，直接寫出b的取值范圍．
【參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）】

Answer 1

分析：（1）拋物線l₁經(jīng)過原點(diǎn)，可將其解析式設(shè)為y=ax²+bx，代入A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法即可得解．
（2）拋物線l₁、l₂關(guān)于直線AB對稱，那么它們的開口大小相同、開口方向相反（即二次項系數(shù)互為相反數(shù)），頂點(diǎn)關(guān)于直線AB對稱；所以先根據(jù)l₁的頂點(diǎn)得到l₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再直接將拋物線l₂寫成頂點(diǎn)式即可．
（3）“四邊形ADPQ”說明了四邊形的頂點(diǎn)排序，即：AD、PQ為平行四邊形的邊，所以AD∥PQ，且PQ=AD，因此PQ與y軸平行（P、Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同），首先設(shè)出P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)，得到線段PQ長的表達(dá)式后，令其值等于AD長，通過解方程即可確定P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）①直線PQ經(jīng)過點(diǎn)D，即P、Q、D三點(diǎn)共線，所以題干條件也可視為“直線DP與AB的交點(diǎn)為F”，所以先求出直線DP的解析式，直線AB的解析式易知，則F點(diǎn)坐標(biāo)可得，以AD、DF為直角邊，則△ADF的面積可求；
②通過①的答案不難發(fā)現(xiàn)：△ADF的面積恰好是矩形面積的

1

5

，所以求出直線PA、PD、PB、PC的解析式后，再觀察b的取值范圍即可．

解答：解：（1）依題意，設(shè)拋物線l₁：y=ax²+bx，代入A（1，3），B（3，3），得：

a+b=3 9a+3b=3

，解得

a=-1 b=4

∴拋物線l₁：y=-x²+4x．

（2）由（1）知，拋物線l₁的頂點(diǎn)（2，4），則拋物線l₂頂點(diǎn)（2，2）；
拋物線l₁、l₂關(guān)于直線AB對稱，則拋物線l₂：y=-（x-2）²+2=x²-4x+6．

（3）當(dāng)四邊形ADPQ為平行四邊形時，AD、PQ為平行四邊形的邊，則PQ∥y軸，且PQ=AD=4；
設(shè)P（x，-x²+4x），則Q（x，x²-4x+6），PQ=x²-4x+6-（-x²+4x）=2x²-8x+6
依題意，有：2x²-8x+6=4，解得x=2±

3

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2±

3

．

（4）由（2）知，點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，4）；
①直線PQ：y=kx+b，代入P（2，4）、D（1，-1），得：

2k+b=4 k+b=-1

，解得

k=5 b=-6

∴直線PQ即直線PD：y=5x-6，點(diǎn)F（

9

5

，3）；
∴S_△ADF=

1

2

×（

9

5

-1）×4=

8

5

．
②由①的計算結(jié)果知，右圖每個陰影部分的面積都“大于0且不超過矩形ABCD面積的

1

5

”；
由P（2，4）、A（1，3）、D（1，-1）、C（3，-1）、B（3，3），可得：
直線PA：y=x+2，直線PD：y=5x-6；
直線PB：y=-x+6，直線PC：y=-5x+14；
因此，b的取值范圍：-6≤b＜2或6＜b≤14．

點(diǎn)評：此題主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、軸對稱圖形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形的面積等重點(diǎn)知識；（3）題中，注意題干給出的四邊形的頂點(diǎn)排序能大大減小計算難度；最后一題的難度較大，找出對應(yīng)的四條直線是解題的關(guān)鍵，此外還用注意“不超過”包含的不等式關(guān)系．