Question

如圖，拋物線y=ax²-3x+c交x軸正方向于A、B兩點(diǎn)，交y軸正方向于C點(diǎn)，過(guò)A、B、C三點(diǎn)作⊙D．若⊙D與y軸相切．
（1）求a、c滿足的關(guān)系式；
（2）設(shè)∠ACB=a，求tana；
（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P，判斷直線PA與⊙D的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由題意，拋物線y=ax²-3x+c交x軸正方向于A、B兩點(diǎn)，即A、B的橫坐標(biāo)是方程ax²-3x+c=0的兩根，再由圓的切割線定理，易求a，c的關(guān)系；
（2）作輔助線，連接PD，交x軸于E，連接AD、BD，根據(jù)幾何關(guān)系求出AE，DE的關(guān)系，從而求出tana的值；
（3）連接PA，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△PAE中，求出β的正切值，從而判斷直線PA與⊙D的位置關(guān)系．

解答：解：（1）由題意，拋物線y=ax²-3x+c交x軸正方向于A、B兩點(diǎn)，
∴A、B的橫坐標(biāo)是方程ax²-3x+c=0的兩根，
設(shè)為x₁、x₂（x₂＞x₁），C的縱坐標(biāo)是c，
又∵y軸與⊙D相切，
∴OA•OB=OC²．
∴x₁•x₂=c²
又由方程ax²-3x+c=0，知x₁•x₂=

c

a

∴c²=

c

a

，即ac=1；

（2）連接PD，交x軸于E，直線PD必為拋物線的對(duì)稱軸，連接AD、BD，
∴AE=

1

2

AB，∠ACB=

1

2

∠ADB=∠ADE=a，
∵a＞0，x₂＞x₁，
∴AB=x₂-x₁=

5

a

，
∴AE=

5

2a

，
又ED=OC=c，
∴tana=

AE

DE

=

5

2

；

（3）設(shè)∠PAB=β，
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2a

，-

5

4a

）且a＞0，
∴在Rt△PAE中，PE=

5

4a

，
∴tanβ=

PE

AE

=

5

2

，
∴tanβ=tanα，
∴β=α，
∴∠PAE=∠ADE，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠PAE+∠DAE=90°，
即∠PAD=90°，
∴PA和⊙D相切．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)和圓與直線的位置關(guān)系，把函數(shù)與方程聯(lián)系起來(lái)，把圓與拋物線聯(lián)系起來(lái)，主要運(yùn)用圓的切割線定理，直角三角形的勾股定理，用的知識(shí)點(diǎn)多較為復(fù)雜．