【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),與y軸相交于點(diǎn)C(0,﹣3).
(1)求此二次函數(shù)的解析式.
(2)若拋物線的頂點(diǎn)為D,點(diǎn)E在拋物線上,且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,直線AE交對(duì)稱軸于點(diǎn)F,試判斷四邊形CDEF的形狀,并說(shuō)明理由.
(3)若點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)P在拋物線上,是否存在以A,E,M,P為頂點(diǎn)且以AE為一邊的平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
(2)四邊形EFCD是正方形;
(3)當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+,2)或(1﹣,2)或(0,﹣2)時(shí),存在以A,E,M,P為頂點(diǎn)且以AE為一邊的平行四邊形.
【解析】
試題分析:(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題.
(2)結(jié)論四邊形EFCD是正方形.如圖1中,連接CE與DF交于點(diǎn)K.求出E、F、D、C四點(diǎn)坐標(biāo),只要證明DF⊥CE,DF=CE,KC=KE,KF=KD即可證明.
(3)如圖2中,存在以A,E,M,P為頂點(diǎn)且以AE為一邊的平行四邊形.根據(jù)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2或﹣2,即可解決問題.
試題解析:(1)把A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3)代入y=ax2+bx+c得,
解得,∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
(2)結(jié)論四邊形EFCD是正方形.
理由:如圖1中,連接CE與DF交于點(diǎn)K.
∵y=(x﹣1)2﹣4,∴頂點(diǎn)D(1,4),∵C、E關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,C(0,﹣3),
∴E(2,﹣3),∵A(﹣1,0),設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,
∴,解得,
∴直線AE的解析式為y=﹣x﹣1.
∴F(1,﹣2),
∴CK=EK=1,F(xiàn)K=DK=1,
∴四邊形EFCD是平行四邊形,
又∵CE⊥DF,CE=DF,
∴四邊形EFCD是正方形.
(3)如圖2中,存在以A,E,M,P為頂點(diǎn)且以AE為一邊的平行四邊形.
由題意點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2或﹣2,
當(dāng)y=2時(shí),x2﹣2x﹣3=2,解得x=1±,
可得P1(1+,2),P2(1-,2),
當(dāng)y=﹣2時(shí),x=0,可得P3(0,﹣2),
綜上所述當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+ ,2)或(1﹣,2)或(0,﹣2)時(shí),存在以A,E,M,P為頂點(diǎn)且以AE為一邊的平行四邊形.
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(1)如圖1,若將臺(tái)燈上部繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)G落在直線CD上時(shí),測(cè)量得∠EOG=65°,求FG的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到0.1cm);
(2)將臺(tái)燈由圖1位置旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,若此時(shí)F,O兩點(diǎn)所在的直線恰好與CD垂直,求點(diǎn)F在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的弧的長(zhǎng)度.(參考數(shù)據(jù):sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,≈1.73,可使用科學(xué)計(jì)算器)
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