Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B，拋物線y=x2的頂點(diǎn)在直線AO上運(yùn)動(dòng)，與直線x=2交于點(diǎn)P，設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
（1）如圖1，若m=﹣1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在拋物線平移的過(guò)程中，當(dāng)△PMA是等腰三角形時(shí)，求m的值；
（3）如圖2，當(dāng)線段BP最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x．
由題意，把x=﹣1，代入得，y=﹣2，
∴拋物線的頂點(diǎn)M（﹣1，﹣2），
∴拋物線解析式為：y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1，
當(dāng)x=2時(shí)，y=7，
∴點(diǎn)P（2，7）；
（2）如圖1，

在拋物線平移的過(guò)程中，設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（m，2m）當(dāng)△PMA是等腰三角形時(shí)，
∴有PA=PM，
由點(diǎn)A（2，4），
可求：tan∠A=，cos∠A=，
過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于直線x=2，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AM，連接MP，
拋物線解析式為：y=（x﹣m）2+2m，
當(dāng)x=2時(shí)，y=m2﹣2m+4，
此時(shí)，MN=2﹣m，AN=4﹣2m，
AP=4﹣（m2﹣2m+4）=﹣m2+2m，
∴AH=AP×=，
AM=2AH=，
∴=，
代入解得：m=，或m=2（舍去）
∴m=；
（3）如圖2，

∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在直線OA上移動(dòng)，
∴y=2m．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m）．
∴拋物線函數(shù)解析式為y=（x﹣m）2+2m．
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m2﹣2m+4）．
∵PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，
∴當(dāng)m=1時(shí)，PB最短．
當(dāng)線段PB最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為y=（x﹣1）2+2
即y=x2﹣2x+3．
假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q，使S△QMA=S△PMA ．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x+3）．
①點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí)，過(guò)P作直線PC∥AO，交y軸于點(diǎn)C，
∵PB=3，AB=4，
∴AP=1，
∴OC=1，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，﹣1），
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，3），
∴直線PC的函數(shù)解析式為y=2x﹣1，
∵S△QMA=S△PMA ，
∴點(diǎn)Q落在直線y=2x﹣1上，
∴x2﹣2x+3=2x﹣1，
解得x1=2，x2=2，
即點(diǎn)Q（2，3），
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，
∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q（2，3），使△QMA與△APM的面積相等，
②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí)，
作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱稱點(diǎn)D，過(guò)D作直線DE∥AO，交y軸于點(diǎn)E，
∵AP=1，
∴EO=DA=1，
∴E、D的坐標(biāo)分別是（0，1），（2，5），
∴直線DE函數(shù)解析式為y=2x+1，
∵S△QMA=S△PMA ，
∴點(diǎn)Q落在直線y=2x+1上，
∴x2﹣2x+3=2x+1，
解得：x=2+，或x=2-，
代入y=2x+1，得：y=5+2或y=5-2，
∴△QMA的面積與△PMA的面積相等時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2+，5+2），（2-，5-2）．
【解析】（1）先求出直線OA的解析式，代入m=﹣1，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出拋物線解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于直線x=2，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AM，連接MP，設(shè)出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，表示PA，AM，MN，的長(zhǎng)度，結(jié)合∠A的三角函數(shù)列出方程求解即可；
（3）先求出BP最短時(shí)的拋物線解析式，設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，根據(jù)題意構(gòu)造平行線，分Q在直線OA的上方和下方兩種情況分別列式求解即可．