Question

【題目】如圖①，在等邊中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著方向運(yùn)動(dòng)．連結(jié)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒．

（1）用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)時(shí)，求的值．

（3）若的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在、之間時(shí)，連結(jié)，被分割成、、，當(dāng)其中的某兩個(gè)三角形面積相等時(shí)，直接寫(xiě)出的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0≤≤3時(shí)，，當(dāng)3<≤6時(shí)，；（2）；（3），；（4）或

【解析】

(1)分類(lèi)討論：當(dāng)0≤≤3時(shí)和當(dāng)3<≤6時(shí)，根據(jù)題目意思結(jié)合圖形解答即可；

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出方程，解方程得到答案；

(3)作QH⊥AB于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用t表示出QH，根據(jù)三角形的面積公式解答；

(4)分△APQ的面積=△PCQ的面積、△APQ的面積=△PCB的面積、△CPQ的面積=△PCB的面積三種情況進(jìn)行討論．

解：(1)由題意知得：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程為2t，

當(dāng)0≤≤3時(shí)，，

當(dāng)3<≤6時(shí)，．

(2)∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=60°，

當(dāng)時(shí)，∠QPA=30°，

∴AQ=，即，

解得．

(3)如圖①所示，作QH⊥AB于H，

在Rt△QBH中，，

，

如圖②所示，作QH⊥AB于H，

在Rt△QAH中，，

．

(4)當(dāng)點(diǎn)Q為AC的中點(diǎn)時(shí)，△APQ的面積=△PCQ的面積，

即12-2t=3，

解得：，

如圖①，作CE⊥AB于E，

則，

∴△ABC的面積：，

，

∴△BPC的面積：，

∴△APC的面積：，

，

∴△APQ的面積：，

∴△APC的面積：，

當(dāng)△APQ的面積=△PCB的面積時(shí)，

，

整理得：t2-t+4=0，

△=1-16=-15＜0，此方程無(wú)解，

當(dāng)△CPQ的面積=△PCB的面積時(shí)，

，

解得：（舍去），

綜上所述：在△APQ、△PCQ、△PBC中，其中某兩個(gè)三角形相等時(shí)，或．