Question

設(shè)邊長(zhǎng)為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對(duì)邊垂直于直線l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、O間距離為d．
（1）如圖①，當(dāng)r＜a時(shí)，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下表：

d、a、r之間關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d=a-r
d＜a-r

所以，當(dāng)r＜a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有

 

個(gè)；
（2）如圖②，當(dāng)r=a時(shí)，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下表：

d、a、r之間關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d＜a

所以，當(dāng)r=a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有

 

個(gè)；
（3）如圖③，當(dāng)⊙O與正方形有5個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，試說明r=

5

4

a；
（4）就r＞a的情形，請(qǐng)你仿照“當(dāng)…時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有

 

個(gè)”的形式，至少給出一個(gè)關(guān)于“⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”的正確結(jié)論．
（注：第（4）小題若多給出一個(gè)正確結(jié)論，則可多得2分，但本大題得分總和不得超過12分）．

Answer 1

分析：（1）、（2）可根據(jù)圓心和正方形的中心之間的距離，和正方形的邊長(zhǎng)與圓的半徑的比較得出兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；
（3）連接圓心與圓上的正方形的頂點(diǎn)，在所構(gòu)成的直角三角形中，用r表示出圓心到弦的距離，然后根據(jù)勾股定理求出r的值；
（4）可先判斷正方形與圓的位置關(guān)系，然后再判斷公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）

d、a、r之間關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d=a-r	1
d＜a-r	0

所以，當(dāng)r＜a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有0，1，2個(gè)；

（2）

d、a、r之間關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

r=a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0，1，2，4個(gè)；

（3）連接OC．
則OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．
在Rt△OCF中，由勾股定理，得
OF²+FC²=OC²，
即（2a-r）²+a²=r²，
4a²-4ar+r²+a²=r²，
5a²=4ar，
5a=4r，
∴r=

5

4

a．

（4）當(dāng)a＜r＜

5

4

a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、4、6、7、8個(gè)；
②當(dāng)r=

5

4

a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、5、8個(gè)；
③當(dāng)

5

4

a＜r＜

2

a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、3、4、6、8個(gè)；
④當(dāng)r=

2

a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、3、4個(gè)；
⑤當(dāng)r＞

2

a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、3、4個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道較為新穎的幾何壓軸題．考查圓、相似、正方形等幾何知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，試題的區(qū)分度把握非常得當(dāng)，是一道很不錯(cuò)的壓軸題．