【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A(3,0)、B(0,﹣3),點P是直線AB上的動點,過點P作x軸的垂線交拋物線于點M,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.

(1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式.
(2)若點P在第四象限,連接AM、BM,當(dāng)線段PM最長時,求△ABM的面積.
(3)是否存在這樣的點P,使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點P的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得

,

解得: ,

所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3.

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,

把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得: ,

解得:

所以直線AB的解析式是y=x﹣3


(2)

解:設(shè)點P的坐標(biāo)是(t,t﹣3),則M(t,t2﹣2t﹣3),

∵p在第四象限,

∴PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t=﹣(t﹣ 2+ ,

當(dāng)t= 時,二次函數(shù)取得最大值 ,即PM最長值為 ,

則SABM=SBPM+SAPM= × ×3=


(3)

解:存在,

理由如下:

∵PM∥OB,

∴當(dāng)PM=OB時,點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,

①當(dāng)P在第四象限:PM=OB=3,PM最長時只有 ,所以不可能有PM=3.

②當(dāng)P在第一象限:PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,

解得t1= ,t2= (舍去),

所以P點的橫坐標(biāo)是 ;

③當(dāng)P在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1= (舍去),t2= ,

所以P點的橫坐標(biāo)是

所以P點的橫坐標(biāo)是


【解析】(1)待定系數(shù)法分別求解可得;(2)根據(jù)題意可設(shè)點P的坐標(biāo)是(t,t﹣3),則M(t,t2﹣2t﹣3),繼而可得PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣ 2+ ,知PM最長值為 ,根據(jù)SABM=SBPM+SAPM可得答案;(3)由PM∥OB,可知當(dāng)PM=OB時點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,據(jù)此可分以下三種情況:①當(dāng)P在第四象限;②當(dāng)P在第一象限;③當(dāng)P在第三象限;由PM=OB=3列出關(guān)于t的方程分別求解可得.
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.

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