【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣5(a≠0)經(jīng)過點A(4,﹣5),與x軸的負半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=5OB,拋物線的頂點為點D.

(1)求這條拋物線的表達式;
(2)連結(jié)AB、BC、CD、DA,求四邊形ABCD的面積;
(3)如果點E在y軸的正半軸上,且∠BEO=∠ABC,求點E的坐標.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx﹣5與y軸交于點C,

∴C(0,﹣5),

∴OC=5.

∵OC=5OB,

∴OB=1,

又點B在x軸的負半軸上,

∴B(﹣1,0).

∵拋物線經(jīng)過點A(4,﹣5)和點B(﹣1,0),

,解得 ,

∴這條拋物線的表達式為y=x2﹣4x﹣5.


(2)

解:由y=x2﹣4x﹣5,得頂點D的坐標為(2,﹣9).

連接AC,

∵點A的坐標是(4,﹣5),點C的坐標是(0,﹣5),

又SABC= ×4×5=10,SACD= ×4×4=8,

∴S四邊形ABCD=SABC+SACD=18.


(3)

解:過點C作CH⊥AB,垂足為點H.

∵SABC= ×AB×CH=10,AB=5 ,

∴CH=2

在RT△BCH中,∠BHC=90°,BC= ,BH= =3 ,

∴tan∠CBH= =

∵在RT△BOE中,∠BOE=90°,tan∠BEO=

∵∠BEO=∠ABC,

,得EO= ,

∴點E的坐標為(0,


【解析】(1)先得出C點坐標,再由OC=5BO,得出B點坐標,將A、B兩點坐標代入解析式求出a,b;(2)分別算出△ABC和△ACD的面積,相加即得四邊形ABCD的面積;(3)由∠BEO=∠ABC可知,tan∠BEO=tan∠ABC,過C作AB邊上的高CH,利用等面積法求出CH,從而算出tan∠ABC,而BO是已知的,從而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO長度,也就求出了E點坐標.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識點,需要掌握一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù);二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點才能正確解答此題.

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如圖,AE、DE分別是四邊形ABCD的外角∠NAD、MDA的平分線,B+C=240°,求∠E的度數(shù).

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(1)填空:點A(      ),點B(      ),∠DAE=   ;

(2)求點C和點E的坐標;

(3)設(shè)點Px軸上的一動點(不與點A、E重合),且PA>AE,探究∠APC∠PCB的數(shù)量關(guān)系?寫出你的結(jié)論并證明.

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