【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師出示了如下框中的題目.
已知,在中,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊和上的點(diǎn),且始終滿足,試確定與的大小關(guān)系.
小明與同桌小聰討論后,進(jìn)行了如下解答:
(1)(特殊情況,探索結(jié)論)如圖1,若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,容易得到與的大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論:____________(填“”,“”或“”).
(2)(特例啟發(fā),解答題目)如圖2,若點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí),與的大小關(guān)系是:_________(填“”,“”或“”).理由如下:連結(jié),(請你完成剩下的解答過程)
(3)(拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題)在中,,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)和點(diǎn)分別是直線和直線上的點(diǎn),且始終滿足,若,,求的長.(請你直接寫出結(jié)果)
【答案】(1)=;(2)=,理由見解析;(3)1或3
【解析】
(1)根據(jù)等直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半解答即可;
(2)連結(jié),證明△BDE≌△ADF即可;
(3)分四種情況求解:①當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上,點(diǎn)F在AC的延長線上;②當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上,點(diǎn)F在CA的延長線上;③當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上,點(diǎn)F在AC的延長線上;④當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上,點(diǎn)F在CA的延長線上.
(1)∵,,
∴∠ACD=45°.
∵,點(diǎn)為的中點(diǎn),
∴∠CAD=45°,
∴∠CAD=∠ACD,
∴AD=CD,
即DE=DF;
(2)連結(jié),
∵,點(diǎn)為的中點(diǎn),
∴AD==BD.
∵,,點(diǎn)為的中點(diǎn),
∴∠B=∠C=∠CAD=∠BAD=45°,AD⊥BC,
∴∠ADE+∠BDE=90°.
∵DE⊥DF,
∴∠ADE+∠ADF=90°,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
∵∠B=∠CAD=45°,
AD=BD,
∠BDE=∠ADF,
∴△BDE≌△ADF,
∴DE=DF;
(3)①當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上,點(diǎn)F在AC的延長線上,如圖1,
由(2)知,AD=CD,∠CAD=∠ACB=45°,
∴∠DAE=∠DCE=135°.
∵DE⊥DF,E⊥DF,
∴∠CDE+∠CDF=90°,∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠CDF=∠ADE,
在△ADE和△CDF中,
∵∠DAE=∠DCE,
AD=CD,
∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF,
∴CF=AE,
∵BE=2,,AB=1,
∴CF=AE=2-1=1;
②當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上,點(diǎn)F在CA的延長線上,如圖2,
與①同理可證△ADF≌△BDE,
∴AF=BE=2,
∵AC=1,
∴CF=2+1=3;
③當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上,點(diǎn)F在AC的延長線上,如圖3, 連接AD,并延長交EF與H,
∵∠5=∠1+∠3,∠6=∠2+∠4,
∴∠5+∠6=∠1+∠3+∠2+∠4,
∵∠1+∠2=90°,∠5+∠6=90°,
∴∠3+∠4=0°,不合題意,此種情況不成立;
④當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上,點(diǎn)F在CA的延長線上,如圖4,
同③的方法可說明此種情況也不成立.
綜上可知,CF的長是1或3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).
(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過1秒后,△BPD與△CQP是否全等,請說明理由.
(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使△BPD與△CQP全等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“十字相乘法”能把二次三項(xiàng)式分解因式,對于形如ax2+bxy+cy2的關(guān)于x,y的二次三項(xiàng)式來說,方法的關(guān)鍵是把x2項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積,即a=a1a2,把y2項(xiàng)系數(shù)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積,即c=c1c2,并使a1c2+a2c1正好等于xy項(xiàng)的系數(shù)b,那么可以直接寫成結(jié)果:ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y).
例:分解因式:x2﹣2xy﹣8y2.
解:如圖1,其中1=1×1,﹣8=(﹣4)×2,而﹣2=1×2+1×(﹣4).
∴x2﹣2xy﹣8y2=(x﹣4y)(x+2y)
而對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法來分解,如圖2,將a分解成mn乘積作為一列,c分解成pq乘積作為第二列,f分解成jk乘積作為第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規(guī)則,則原式=(mx+py+j)(nx+qy+k);
例:分解因式:x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
解:如圖3,其中1=1×1,﹣3=(﹣1)×3,2=1×2;
而2=1×3+1×(﹣1),1=(﹣1)×2+3×1,3=1×2+1×1;
∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=(x﹣y+1)(x+3y+2)
請同學(xué)們通過閱讀上述材料,完成下列問題:
(1)分解因式:
①6x2﹣17xy+12y2=
②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=
③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=
(2)若關(guān)于x,y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個(gè)一次因式的積,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是菱形,其中B點(diǎn)坐標(biāo)是(8,2),D點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2),點(diǎn)A在x軸上,則菱形ABCD的周長是( )
A.2
B.8
C.8
D.12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電視臺的一檔娛樂性節(jié)目中,在游戲PK環(huán)節(jié),為了隨機(jī)分選游戲雙方的組員,主持人設(shè)計(jì)了以下游戲:用不透明的白布包住三根顏色長短相同的細(xì)繩AA1、BB1、CC1,只露出它們的頭和尾(如圖所示),由甲、乙兩位嘉賓分別從白布兩端各選一根細(xì)繩,并拉出,若兩人選中同一根細(xì)繩,則兩人同隊(duì),否則互為反方隊(duì)員.
(1)若甲嘉賓從中任意選擇一根細(xì)繩拉出,求他恰好抽出細(xì)繩AA1的概率;
(2)請用畫樹狀圖法或列表法,求甲、乙兩位嘉賓能分為同隊(duì)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),且AE=DF,連接BF與DE相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)H.給出如下幾個(gè)結(jié)論:①△AED≌△DFB;②S四邊形BCDG=;③若AF=2DF,則BG=6GF;④CG與BD一定不垂直;⑤∠BGE的大小為定值.
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們學(xué)過的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法,但有很多的多項(xiàng)式只用上述方法就無法分解,如,我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn),前兩項(xiàng)符合平方差公式,后兩項(xiàng)可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式,然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了.過程為: ;這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種方法解決下列問題:
(1)分解因式:
(2)三邊,,滿足,判斷的形狀.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生的安全意識情況,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,把學(xué)生的安全意識分成“淡薄”、“一般”、“較強(qiáng)”、 “很強(qiáng)”四個(gè)層次,并繪制成如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)該校有名學(xué)生,現(xiàn)要對安全意識為“淡薄”、“一般"的學(xué)生強(qiáng)化安全教育,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計(jì)全校需要強(qiáng)化安全教育的學(xué)生約有多少名?
(2)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)求出安全意識為“較強(qiáng)”的學(xué)生所占的百分比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A(﹣1,m).
(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如果一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)B(n,0),請確定當(dāng)x<n時(shí),對應(yīng)的反比例函數(shù)y=的值的范圍.
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