【題目】已知:AB是⊙O的直徑,DA、DC分別是⊙O的切線,點(diǎn)A、C是切點(diǎn),連接DO交弧AC于點(diǎn)E,連接AE、CE.

(1)如圖1,求證:EA=EC;
(2)如圖2,延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)F,連接CF、BE交于點(diǎn)G,求證:∠CGE=2∠F;
(3)如圖3,在(2)的條件下,DE=AD,EF=2 , 求線段CG的長(zhǎng).

【答案】證明:(1)如圖1,

連接OC,
∵DA、DC分別是⊙O的切線,點(diǎn)A、C是切點(diǎn),OA、OC是半徑,
∴OA⊥DA,OC⊥DC,
∴∠DAO=∠DCO=90°,
在Rt△ODA和Rt△ODC中,
,
∴Rt△ODA≌Rt△ODC,
∴∠EOA=∠EOC,
∴AE=CE;
(2)證明:如圖2,

連接OC,BE,由(1)證得∠AOE=∠COE,
又∵∠B=∠AOE,∠F=∠COE,
∴∠B=∠F,
∵OB=OE,
∴∠B=∠OEB,
∴∠F=∠OEG,
∵∠EGC是△EGF的外角,
∴∠EGC=∠F+∠GEF=2∠F,
即∠EGC=2∠F;
(3)解:∵EF是⊙O的直徑,
∴∠ECF=90°
∵EF=2,
∴OA=OE=EF=
∵DE=AD,設(shè)DE=m,
∴AD=2m,
在Rt△DAO中,OA2+DA2=OD2 ,

解得m1=0(舍去),m2=,
∴DA=,DO=
∴在Rt△ADO中,tan∠DOA==,cos∠DOA==,
∵∠EOA=2∠B,∠EGC=2∠F,
∴∠EGC=∠EOA,
∴tan∠EGC=
如圖3,

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H,
在Rt△EOH中OH=OEcos∠EOH=X=,
∴EH=AH=AO﹣OH=-=,
在Rt△EHA中,EA2=AH2+EH2 ,
∴EA=2,
∵AE=CE,
∴EC=2,
在Rt△ECG中,tan∠EGC===,
∴GC=
【解析】(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥DA,OC⊥DC,由垂直的定義得到∠DAO=∠DCO=90°,推出Rt△ODA≌Rt△ODC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EOA=∠EOC,由等腰三角形的判定得到結(jié)論;
(2)連接OC,BE,由(1)證得∠AOE=∠COE,根據(jù)圓周角定理得到∠B=∠AOE,∠F=∠COE,得到∠B=∠F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠OEB,于是得到∠F=∠OEG,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(3)由圓周角定理得到∠ECF=90°求得OA=OE=EF= , 設(shè)DE=m,AD=2m,根據(jù)勾股定理列方程得到m1=0(舍去),m2= , 于是得到DA=DA= , DO= , 在Rt△ADO中,tan∠DOA== , cos∠DOA== , 得到tan∠EGC= , 過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H,在Rt△EOH中OH=OEcos∠EOH=X= , 于是得到EH=AH=AO﹣OH=-= , 根據(jù)勾股定理求得EC=2,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)如圖1,在(1)的條件下,求線段DE的長(zhǎng);

(3)如圖2,若AB=15,AD=2BE,求線段CE的長(zhǎng).

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譯文:“當(dāng)秋千靜止時(shí),秋千上的踏板離地有1尺高,如將秋千的踏板往前推動(dòng)兩步(10尺)時(shí),踏板就和人一樣高,已知這個(gè)人身高是5尺.美麗的姑娘和才子們,每天都來(lái)爭(zhēng)蕩秋千,歡聲笑語(yǔ)終日不斷.好奇的能工巧匠,能算出這秋千的繩索長(zhǎng)是多少嗎?”
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