【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4.在AD上取一點(diǎn)E,AE=1,點(diǎn)FAB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以EF為一邊作菱形EFMN,使點(diǎn)N落在CD邊上,點(diǎn)M落在矩形ABCD內(nèi)或其邊上.若AF=x,BFM的面積為S.

(1)當(dāng)四邊形EFMN是正方形時(shí),求x的值;

(2)當(dāng)四邊形EFMN是菱形時(shí),求Sx的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)x= 時(shí),BFM的面積S最大;當(dāng)x= 時(shí),BFM的面積S最。

(4)BFM的面積S由最大變?yōu)樽钚〉倪^(guò)程中,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng): 。

【答案】(1)x=3;(2)S=;(3);(4)

【解析】

(1)利用AAS證明DEN≌△AFE即可解決問(wèn)題;

(2)如圖,過(guò)點(diǎn)MMHABH,連接NF,證明DEN≌△HMF,可得MH=DE=3,由此即可解決問(wèn)題;

(3)①如備用圖①中,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí),x的值最小,FBM的面積最大,在RtAEF中,x=,推出S的最大值=12-3;②如備用圖②,當(dāng)點(diǎn)MBC上時(shí),x的值最大,FBM的面積最小;

(4)如備用圖③中,在BFM的面積S由最大變?yōu)樽钚〉倪^(guò)程中,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是平行AB的線段,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)=BF的長(zhǎng)=8-2.

(1)在正方形EFMN中,∠FEN=90°,EF=EN

DEN+AEF=90°,

在矩形ABCD中,∠A=D=90°,

AEF+AFE=90°,

DEN=AFE,

DENAFE中,

,

∴△DEN≌△AFE(AAS),

AF=DE=4-1=3,

x的值為3;

(2)過(guò)點(diǎn)MMHABH,連接NF,

在矩形ABCD中,∵ABCD,

∴∠DNF=NFB,

∵四邊形EFMN是菱形

NE‖MF ,NE=MF,

∴∠ENF=MFN,

∴∠DNE=MFB ,

DENHMF中,

,

∴△DEN≌△HMF(AAS),

MH=DE=3,BF=8-x,

(3)①如備用圖①中,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí),x的值最小,FBM的面積最大,

RtAEF中,x=,

S的最大值=12-3

②如備用圖②,當(dāng)點(diǎn)MBC上時(shí),x的值最大,FBM的面積最小,

此時(shí)易得CN=AF=x,

EN=EF,

12+x2=32+(8-x)2,

x=,

S的最小值為

故答案為:2,;

(4)如備用圖③中,在BFM的面積S由最大變?yōu)樽钚〉倪^(guò)程中,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是平行AB的線段,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)=BF的長(zhǎng)=8-2,

故答案為:.

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