【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣2ax+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A坐標(biāo)為(4,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)拋物線的頂點(diǎn)為N,在x軸上找一點(diǎn)K,使CK+KN最小,并求出點(diǎn)K的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(4)若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問(wèn):是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,4),A(4,0),
∴ ,解得 ,
∴拋物線解析式為y=﹣
(2)
解:由(1)可求得拋物線頂點(diǎn)為N(1, ),
如圖1,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′(0,﹣4),連接C′N交x軸于點(diǎn)K,則K點(diǎn)即為所求,
設(shè)直線C′N的解析式為y=kx+b,把C′、N點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 ,解得 ,
∴直線C′N的解析式為y= ,
令y=0,解得x= ,
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為( ,0)
(3)
解:設(shè)點(diǎn)Q(m,0),過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G,如圖2,
由﹣ =0,得x1=﹣2,x2=4,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,0),AB=6,BQ=m+2,
又∵QE∥AC,
∴△BQE≌△BAC,
∴ ,即 ,解得EG= ;
∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ= = = .
又∵﹣2≤m≤4,
∴當(dāng)m=1時(shí),S△CQE有最大值3,此時(shí)Q(1,0)
(4)
解:存在.在△ODF中,
(。┤鬌O=DF,∵A(4,0),D(2,0),
∴AD=OD=DF=2.
又在Rt△AOC中,OA=OC=4,
∴∠OAC=45°.
∴∠DFA=∠OAC=45°.
∴∠ADF=90°.
此時(shí),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,2).
由﹣ =2,得x1=1+ ,x2=1﹣ .
此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P1(1+ ,2)或P2(1﹣ ,2);
(ⅱ)若FO=FD,過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M.
由等腰三角形的性質(zhì)得:OM= OD=1,
∴AM=3.
∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3.
∴F(1,3).
由﹣ =3,得x1=1+ ,x2=1﹣ .
此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P3(1+ ,3)或P4(1﹣ ,3);
(ⅲ)若OD=OF,
∵OA=OC=4,且∠AOC=90°.
∴AC=4 .
∴點(diǎn)O到AC的距離為2 .
而OF=OD=2<2 ,與OF≥2 矛盾.
∴在AC上不存在點(diǎn)使得OF=OD=2.
此時(shí),不存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形.
綜上所述,存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形.所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(1+ ,2)或(1﹣ ,2)或(1+ ,3)或(1﹣ ,3)
【解析】(1)把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、c的值,可求得拋物線解析;(2)可求得點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo),連接C′N交x軸于點(diǎn)K,再求得直線C′K的解析式,可求得K點(diǎn)坐標(biāo);(3)過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G,設(shè)Q(m,0),可表示出AB、BQ,再證明△BQE≌△BAC,可表示出EG,可得出△CQE關(guān)于m的解析式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo);(4)分DO=DF、FO=FD和OD=OF三種情況,分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得F點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)一步求得P點(diǎn)坐標(biāo)即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=﹣ax+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于點(diǎn)A(﹣4,﹣2),B(m,4),與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列說(shuō)法:①2a+b=0,②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí),y<0;③3a+c=0;④若(x1 , y1)(x2、y2)在函數(shù)圖象上,當(dāng)0<x1<x2時(shí),y1<y2 , 其中正確的是( )
A.①②④
B.①③
C.①②③
D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】畫圖并填空:如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.在方格紙內(nèi)將△ABC經(jīng)過(guò)一次平移后得到△A′B′C′,圖中標(biāo)出了點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′.
(1)根據(jù)特征畫出平移后的△A′B′C′;
(2)利用網(wǎng)格的特征,畫出AC邊上的高BE并標(biāo)出畫法過(guò)程中的特征點(diǎn);
(3)△A′B′C′的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】發(fā)現(xiàn)與探索。
(1)根據(jù)小明的解答將下列各式因式分解
① a2-12a+20;②(a-1)2-8(a-1)+7;③ a2-6ab+5b2
(2)根據(jù)小麗的思考解決下列問(wèn)題:
①說(shuō)明:代數(shù)式a2-12a+20的最小值為-16.
②請(qǐng)仿照小麗的思考解釋代數(shù)式-(a+1)2+8的最大值為8,并求代數(shù)式-a2+12a-8的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,過(guò)等邊三角形ABC邊AB上一點(diǎn)D作DE∥BC交邊AC于點(diǎn)E,分別取BC,DE的中點(diǎn)M,N,連接MN.
(1)發(fā)現(xiàn):在圖1中, =;
(2)應(yīng)用:如圖2,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),請(qǐng)求出 的值;
(3)拓展:如圖3,△ABC和△ADE是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE,M,N分別是底邊BC,DE的中點(diǎn),若BD⊥CE,請(qǐng)直接寫出 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,將矩形ABCD折疊,使得點(diǎn)B落在邊AD上,記為點(diǎn)G,BC的對(duì)應(yīng)邊GI與邊CD交于點(diǎn)H,折痕為EF,則AE=時(shí),△EGH為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知,
⑴若是的中點(diǎn),則_____;
⑵若是的中點(diǎn),則_____;
⑶若是的中點(diǎn),則____;
⑷以此類推,若C100是AC99的中點(diǎn),則AC100=____.
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