Question

如圖，以銳角△ABC的邊AB、AC向外作正方形APQB和正方形AEFC，連接PE，作AD⊥BC，垂足為D，延長DA交PE于點H．過P作PM⊥DM，垂足為M，過點E作EN⊥DM，垂足為N．
（1）不再增加線條或字母，在圖中找出一對全等三角形，并給出證明；
（2）求證：PH=HE．

Answer 1

解：（1）有三組：△BAD≌△APM，△DAC≌△NEA，△PMH≌△ENH；任選一組即可；
以△BAD≌△APM為例進(jìn)行說明；
證明：∵四邊形ABQP是正方形，
∴AB=AP，∠PAB=90°；
∴∠PAM=∠ABD=90°-∠BAD，
又∵∠PMA=∠ADB=90°，
∴△BAD≌△APM；
（△DAC≌△NEA證法同上，△PMH≌△ENH如（2）．）

（2）由（1）的△BAD≌△APM，△DAC≌△NEA，得：PM=NE=AD；
∵∠PMH=∠ENH=90°，∠PHM=∠EHN，
∴△PMH≌△ENH，故PH=HE．
分析：（1）此題中，較明顯的全等三角形是△BAD≌△APM，△DAC≌△NEA；以第一組全等三角形為例：由于四邊形ABQP是正方形，可得兩個條件：AP=AB，∠BAP=90°；由∠BAP=90°，易證得∠PAM=∠ABD，聯(lián)立AP=AB和一組直角，即可得證，第二組全等三角形證法相同；
那么另一組全等三角形是：△PMH≌△ENH，思路：由上面的兩組全等三角形得：PM=NE=AD；而∠PMH、∠ENH都是直角，且有一組對頂角相等，由AAS即可證得兩個三角形全等．
（2）由（1）中得到的第三組全等三角形，即可得證．
點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，難度適中．