【答案】
分析:(1)解方程可求得m的值,即可確定A、C的坐標(biāo),將它們代入拋物線的解析式中,即可求得待定系數(shù)的值.
(2)欲求四邊形CEDF的面積最大值,需將面積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題;可設(shè)出D點(diǎn)的橫坐標(biāo),即可表示出DB、AD的長,易證得△BFD、△AED都與△ABC相似,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到△BFD和△DEA的面積表達(dá)式,而平行四邊形CEDF的面積為△ABC、△BFD、△DEA的面積差,由此可得到關(guān)于平行四邊形CEDF的面積和D點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形CEDF的面積最大值及對應(yīng)的D點(diǎn)坐標(biāo).
(3)根據(jù)A、C的坐標(biāo),易知△AOC是等腰直角三角形,那么G為AC的中點(diǎn),假設(shè)存在符合條件的N點(diǎn),由于N在y軸左側(cè),那么∠NOB<90°,若∠AMO=∠NOB,那么∠AMO必為銳角,即M在劣弧OC上;根據(jù)圓周角定理知∠AMD=∠OCA=45°,那么∠NOB=45°,即N點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的絕對值相等,再聯(lián)立拋物線的解析式,即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵實(shí)數(shù)m是方程x
2-8x+16=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根,
∴m=4;
即A(4,0)、C(0,4),代入拋物線的解析式中,可得:
,
解得
;
∴拋物線的解析式為:y=
x
2+x+4;
(2)易知:B(-2,0),則AB=6,S
△ABC=
AB•OC=12;
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(d,0),則BD=d+2,AD=4-d;
∵DF∥AC,
∴△BDF∽△BAC,
∴
=
;
∵S
△ABC=12,
∴S
△BDF=
(d+2)
2;
同理可求得:S
△ADE=
(4-d)
2;
∴S
?CEDF=S
△ABC-S
△BDF-S
△ADE=12-
(d+2)
2-
(4-d)
2=-
d
2+
d+
=-
(d-1)
2+6;
故當(dāng)d=1,即D(1,0)時(shí),四邊形CEDF的面積最大,且最大值為6.
(3)如圖:
由于A(4,0)、C(0,4),那么OA=OC=4,即△OAC是等腰直角三角形;
點(diǎn)N在y軸左側(cè),那么∠NOB<90°,
因此∠AMO也是銳角,即M在弧ACO上,由圓周角定理知:∠ACO=∠AMO=45°,
故∠NOB=∠AMO=45°;
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),則|m|=|n|;
當(dāng)m=n時(shí),N(m,m),代入拋物線的解析式中,得:
m=
m
2+m+4,解得:m=-2
(正值舍去);
∴N(-2
,-2
);
當(dāng)m=-n時(shí),N(m,-m),代入拋物線的解析式中,
得:-m=
m
2+m+4,
解得:m=2-2
(正值舍去);
∴N(2-2
,2
-2);
綜上所述,存在符合條件的N點(diǎn),且N點(diǎn)坐標(biāo)為:N(-2
,-2
)或(2-2
,2
-2).
點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)的綜合題,涉及的知識點(diǎn)有:二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的性質(zhì)、三角形的外接圓、圓周角定理、圖形面積的求法的重要知識點(diǎn);
(2)題能夠?qū)⒚娣e問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題是解得此題的關(guān)鍵;
(3)題中,能夠判斷出∠NOB的度數(shù)是關(guān)鍵所在,注意N點(diǎn)的坐標(biāo)要分類討論,不要漏解.