Question

【題目】如圖，為了測(cè)量山坡上一棵樹PQ的高度，小明在點(diǎn)A處利用測(cè)角儀測(cè)得樹頂P的仰角為450 ，然后他沿著正對(duì)樹PQ的方向前進(jìn)10m到達(dá)B點(diǎn)處，此時(shí)測(cè)得樹頂P和樹底Q的仰角分別是600和300，設(shè)PQ垂直于AB，且垂足為C.

（1）求∠BPQ的度數(shù)；

（2）求樹PQ的高度（結(jié)果精確到0.1m， ）

Answer 1

【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）樹PQ的高度約為15.8m.

【解析】 (1）根據(jù)題意題可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=100m，在Rt△PBC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得∠BPQ度數(shù)；

（2）設(shè)CQ=x，在Rt△QBC中，根據(jù)30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC=x；根據(jù)角的計(jì)算得∠PBQ=∠BPQ=30°，由等角對(duì)等邊得PQ=BQ=2x，用含x的代數(shù)式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再將x值代入PQ代數(shù)式求之即可.

（1）依題可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，

在Rt△PBC中，

∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，

∴∠BPQ=30°；

（2）設(shè)CQ=x，

在Rt△QBC中，

∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，

∴BQ=2x，BC=x，

又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，

∴∠PBQ=30°，

由（1）知∠BPQ=30°，

∴PQ=BQ=2x，

∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，

又∵∠A=45°，

∴AC=PC，

即3x=10+x，

解得：x=，

∴PQ=2x=≈15.8（m），

答：樹PQ的高度約為15.8m.