Question

如圖，在等邊△ABC中，線(xiàn)段AM為BC邊上的中線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)D在直線(xiàn)AM上時(shí)，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）填空：∠ACB=

 

度；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AM上（點(diǎn)D不運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A）時(shí)，試求出

AD

BE

的值；
（3）若AB=8，以點(diǎn)C為圓心，以5為半徑作⊙C與直線(xiàn)BE相交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合除外），試求PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）三角形內(nèi)角和是180°，等邊三角形的內(nèi)角都相等，所以，其中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是180°÷3；
（2）求證△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出

AD

BE

的值；
（3）①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AM上（不與點(diǎn)A重合）時(shí)，作Rt△CBH，在直角三角形中，利用勾股定理求得；②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AM的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證△ACD≌△BCE，然后求值；③當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段MA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證△ACD≌△BCE后求值．

解答：解：（1）60；（3分）

（2）如圖（2），

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE（5分）
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE，
∴

AD

BE

=1（7分）

（3）如圖（3），

①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AM上（不與點(diǎn)A重合）時(shí)，由（2）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE=∠CAD=30°，作CH⊥BE于點(diǎn)H，則PQ=2HQ，連接CQ，則CQ=5．在Rt△CBH中，∠CBH=30°，BC=AB=8，則CH=BC•sin30°=8×

1

2

=4．
在Rt△CHQ中，由勾股定理得：HQ=

CQ2-CH2

=

52-42

=3，則PQ=2HQ=6．（9分）
②如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AM的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD=30°，同理可得：PQ=6（11分）
③如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段MA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ACB=180°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD
∵∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBQ=30°
同理可得：PQ=6
綜上，PQ的長(zhǎng)是6．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等．