Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B（8，0）和點(diǎn)C（9， ）．拋物線（a，c是常數(shù)，a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，且與x軸的另一交點(diǎn)為A．對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M ，滿足MA=MC．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）求四邊形ABCM的面積；

（3）如果坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)D，滿足四邊形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（， ）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，求得拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得a、c的值，即可求得這條拋物線的表達(dá)式；（2）因點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，設(shè)M（4，y），由MA=MC，即,根據(jù)勾股定理列出方程 ，解得y=-3，即可得M（4，-3），再由四邊形ABCM為梯形，根據(jù)梯形的面積公式即可求得四邊形ABCM的面積；（3）用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，因AD//BC，即可求得直線AD的解析式，設(shè)D（x，-3x），根據(jù)勾股定理得方程解得x的值，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo).

試題解析：

（1）由題意得：拋物線對(duì)稱軸，即．

點(diǎn)B（8，0）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A（0，0）∴，將C（9，-3）代入，得

∴拋物線的表達(dá)式：

（2）∵點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，∴可設(shè)M（4，y）

又∵MA=MC，即

∴，解得y=-3，∴M（4，-3）

∵M(jìn)C//AB且MC≠AB，∴四邊形ABCM為梯形，，AB=8，MC=5，AB邊上的高h=yM=3

∴

（3）將點(diǎn)B（8，0）和點(diǎn)C（9，﹣3）代入可得

，解得

由題意得．∵AD//BC，∴，

又∵AD過(guò)（0，0），DC=AB=8，設(shè)D（x，-3x），

，

解得（不合題意，舍去），,

∴，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)．