【題目】如圖, 是 的中線, 是線段 上一點(diǎn)(不與點(diǎn) 重合). 交 于點(diǎn) , ,連結(jié) .
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn) 與 重合時(shí),求證:四邊形 是平行四邊形;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn) 不與 重合時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.
(3)如圖3,延長 交 于點(diǎn) ,若 ,且 .當(dāng) , 時(shí),求 的長.
【答案】
(1)
證明:∵DE//AB,∴∠EDC=∠ABM,
∵CE//AM,
∴∠ECD=∠ADB,
又∵AM是△ABC的中線,且D與M重合,∴BD=DC,
∴△ABD△EDC,
∴AB=ED,又∵AB//ED,
∴四邊形ABDE為平行四邊形。
;∵CE//AM,
∴∠ECD=∠ADB,
又∵AM是△ABC的中線,且D與M重合,∴BD=DC,
∴△ABD△EDC,
∴AB=ED,又∵AB//ED,
∴四邊形ABDE為平行四邊形。
(2)
解:結(jié)論成立,理由如下:
過點(diǎn)M作MG//DE交EC于點(diǎn)G,
∵CE//AM,
∴四邊形DMGE為平行四邊形,
∴ED=GM且ED//GM,
由(1)可得AB=GM且AB//GM,
∴AB=ED且AB//ED.
∴四邊形ABDE為平行四邊形.
(3)
解:取線段HC的中點(diǎn)I,連結(jié)MI,
∴MI是△BHC的中位線,
∴MI//BH,MI=BH,
又∵BH⊥AC,且BH=AM,
∴MI=AM,MI⊥AC,
∴∠CAM=30°
設(shè)DH=x,則AH=x,AD=2x,
∴AM=4+2x,∴BH=4+2x,
由(2)已證四邊形ABDE為平行四邊形,
∴FD//AB,
∴△HDF~△HBA,
∴ , 即
解得x=1±(負(fù)根不合題意,舍去)
∴DH=1+.
;解:取線段HC的中點(diǎn)I,連結(jié)MI,
∴MI是△BHC的中位線,
∴MI//BH,MI=BH,
又∵BH⊥AC,且BH=AM,
∴MI=AM,MI⊥AC,
∴∠CAM=30°
設(shè)DH=x,則AH=x,AD=2x,
∴AM=4+2x,∴BH=4+2x,
由(2)已證四邊形ABDE為平行四邊形,
∴FD//AB,
∴△HDF~△HBA,
∴ , 即
解得x=1±(負(fù)根不合題意,舍去)
∴DH=1+.;
【解析】(1)由DE//AB,可得同位角相等:∠EDC=∠ABM,由CE//AM,可得同位角相等∠ECD=∠ADB,又由BD=DC,則△ABD△EDC,得到AB=ED,根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等,可得四邊形ABDE為平行四邊形.
(2)過點(diǎn)M作MG//DE交EC于點(diǎn)G,則可得四邊形DMGE為平行四邊形,且ED=GM且ED//GM,由(1)可得AB=GM且AB//GM,即可證得;
(3)在已知條件中沒有已知角的度數(shù)時(shí),則在求角度時(shí)往特殊角30°,60°,45°的方向考慮,則要求這樣的特殊角,就去找邊的關(guān)系,構(gòu)造直角三角形,取線段HC的中點(diǎn)I,連結(jié)MI,則MI是△BHC的中位線,可得MI//BH,MI=BH,且MI⊥AC,則去找Rt△AMI中邊的關(guān)系,求出∠CAM;
設(shè)DH=x,即可用x分別表示出AH=x,AD=2x,AM=4+2x,BH=4+2x,由△HDF~△HBA,得到對(duì)應(yīng)邊成比例,求出x的值即可;
【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn),則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn),并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司要把240噸白砂糖運(yùn)往某市的A、B兩地,用大小兩種貨車共20輛,恰好能一次性裝完這批白砂糖.已知這兩種大小貨車的載重分別是15噸/輛和10噸/輛,運(yùn)往A地的運(yùn)費(fèi)為:大車630元/輛,小車420元/輛;運(yùn)往B地的運(yùn)費(fèi)為:大車750元/輛,小車550元/輛.
(1)求大小兩種貨車各多少輛.
(2)如果安排10輛貨車前往A地,其中調(diào)往A地的大貨車有a輛,其余貨車前往B地,填寫下表:
前往A地 | 前往B地 | |
大貨車/輛 | a | |
小貨車/輛 |
(3)按照上表的分配方案,若設(shè)總費(fèi)用為W,求W與a的關(guān)系式(用含a的代數(shù)式表示W)
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(1)求證:AD∥BE;
(2)若∠B=∠3=2∠2,求∠D的度數(shù).
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【題目】某專賣店有,兩種商品.已知在打折前,買60件商品和30件商品用了1080元,買50件商品和10件商品用了840元;,兩種商品打相同折以后,某人買500件商品和450件商品一共比不打折少花1960元,計(jì)算打了多少折?
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【題目】如圖,一次函數(shù) ( )與反比例函數(shù) ( )的圖象交于點(diǎn) , .
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在 軸上是否存在點(diǎn) ,使 為等腰三角形?若存在,求 的值;若不存在,說明理由.
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【題目】在七年級(jí)下冊(cè)“證明”的一章的學(xué)習(xí)中,我們?cè)鲞^如下的實(shí)驗(yàn):
畫∠AOB=90°,并畫∠AOB的平分線OC.
(1)把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上,使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F(如圖①).度量PE、PF的長度,這兩條線段相等嗎?
(2)把三角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)(如圖②),PE與PF相等嗎?請(qǐng)說明理由.
(3)探究:畫∠AOB=50°,并畫∠AOB的平分線OC,在OC上任取一點(diǎn)P,作∠EPF=130°.∠EPF的兩邊分別與OA、OB相交于E、F兩點(diǎn)(如圖③),PE與PF相等嗎?請(qǐng)說明理由.
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【題目】探究題:
(1)三條直線相交,最少有__________個(gè)交點(diǎn),最多有__________個(gè)交點(diǎn),分別畫出圖形,并數(shù)出圖形中的對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的對(duì)數(shù);
(2)四條直線相交,最少有__________個(gè)交點(diǎn),最多有__________個(gè)交點(diǎn),分別畫出圖形,并數(shù)出圖形中的對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的對(duì)數(shù);
(3)依次類推,n條直線相交,最少有__________個(gè)交點(diǎn),最多有__________個(gè)交點(diǎn),對(duì)頂角有__________對(duì),鄰補(bǔ)角有__________對(duì).
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【題目】如圖,已知直線AB∥DF,∠D+∠B=180°,
(1)求證:DE∥BC;
(2)如果∠AMD=75°,求∠AGC的度數(shù).
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【題目】學(xué)習(xí)全等三角形的判定方法以后,我們知道“已知兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等”,但下列兩種情形還是成立的.
(1)第一情形(如圖1)在△ABC和△DEF中,∠C=∠F=90°,AC=DF,AB=DE,則根據(jù)__________,得出△ABC≌△DEF;
(2)第二情形(如圖2)在△ABC和△DEF中,∠C=∠F(∠C和∠F均為鈍角),AC=DF,AB=DE,求證:△ABC≌△DEF.
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