Question

【題目】某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD.大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC，PC正前方有兩艘漁船M，N.觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°.已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長(zhǎng)為30米．

（1）求兩漁船M，N之間的距離(結(jié)果精確到1米)．

（2）已知壩高24米，壩長(zhǎng)100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.為提高大壩防洪能力，請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)?/span>BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工隊(duì)施工10天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備．工作效率提高到原來的2倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？

(參考數(shù)據(jù)：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)

Answer 1

【答案】（1）兩漁船M，N之間的距離約為20米；（2）施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方864立方米．

【解析】試題分析：(1)在直角△PEN，利用三角函數(shù)即可求得ME的長(zhǎng)，根據(jù)MN=EM﹣EN求解；
(2)過點(diǎn)D作DN⊥AH于點(diǎn)N，利用三角函數(shù)求得AN和AH的長(zhǎng)，進(jìn)而求得△ADH的面積，得到需要填筑的土石方數(shù)，再根據(jù)結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成，列方程求解.

試題解析：(1)由題意得∠E＝90°，∠PME＝α＝31°，∠PNE＝β＝45°，PE＝30米．

在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，

在Rt△PEM中，tan 31°＝，∴ME≈＝50(米)．

∴MN＝EM－EN≈50－30＝20(米)．

答：兩漁船M，N之間的距離約為20米．

(2)如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，壩高DG＝24米．

∵背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，∴DG∶AG＝1∶0.25，

∴AG＝24×0.25＝6(米)．

∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，

∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42(米)．

∴AH＝GH－GA＝42－6＝36(米)．

∴S△ADH＝AH·DG＝×36×24＝432(平方米)．

∴需要填筑的土石方為432×100＝43 200(立方米)．

設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方x立方米，

根據(jù)題意，得10＋＝－20.

解方程，得x＝864.

經(jīng)檢驗(yàn)：x＝864是原方程的根且符合題意．

答：施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方864立方米．