Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（0，2）的直線AB與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，

3

為半徑的圓相切于點(diǎn)C，且與x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)B．
（1）求∠BAO的度數(shù)；
（2）求直線AB的解析式；
（3）若一拋物線的頂點(diǎn)在直線AB上，且拋物線的頂點(diǎn)和它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成斜邊長為2的直角三角形，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知了A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OA的長，由于AB與圓O相切，因此OC⊥AB，可在直角三角形OAC中，根據(jù)OA的長和圓的半徑求出∠BAO的度數(shù)．
（2）已知了∠BAO的度數(shù)和OA的長，可在直角三角形BOA中用三角函數(shù)求出OB的長，即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，拋物線的頂點(diǎn)和它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形應(yīng)該是等腰直角三角形，已知了這個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為2，那么斜邊上的高應(yīng)該是1，即拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為1．因此可根據(jù)直線AB的解析式設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值為1求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，因此來求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵AB與⊙O相切
∴OC⊥AB
在直角三角形OAC中，OC=

3

，OA=2，
∴sin∠BAO=

OC

OA

=

3

2

．
∴∠BAO=60°．

（2）在直角三角形BAO中，
∵∠BAO=60°，OA=2；
∴OB=2

3

．
∴B（-2

3

，0）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+2．
則有：-2

3

k+2=0，k=

3

3

；
∴y=

3

3

x+2．

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

3

3

x+2）．
∴|1|=

3

3

x+2
①1=

3

3

x+2，x=-

3

，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

，1）
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+

3

）²+1，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-

3

，且與x軸兩交點(diǎn)的距離為2，
因此可得出兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1-

3

，0）和（1-

3

，0）
代入拋物線的解析式中可得：a=-1
∴拋物線的解析式為y=-（x+

3

）²+1．
②-1=

3

3

x+2，x=-3

3

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3

3

，-1）
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3

3

）²-1，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-3

3

，且與x軸兩交點(diǎn)的距離為2，
因此可得出兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1-3

3

，0）和（1-3

3

，0）
代入拋物線的解析式中可得：a=1
∴拋物線的解析式為y=（x+3

3

）²-1．
綜上所述，拋物線的解析式為：y=-（x+

3

）²+1和y=（x+3

3

）²-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、切線的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的確定以及二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)等知識(shí)點(diǎn)．