Question

如圖1是邊長(zhǎng)分別為4

3

和3的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起．
（1）固定△ABC，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD、BE、CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F（圖2），線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）固定△CDE，將△ABC移動(dòng)，使頂點(diǎn)C落在CE的中點(diǎn)G，邊BG交DE于點(diǎn)M，邊AG交DC于點(diǎn)N，求證：CN•EM=EG•CG；
（3）將圖2中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，平移后的△CDE設(shè)為△PQR（圖4）；探究：設(shè)△PQR移動(dòng)時(shí)間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由△ABC、△DEC是等邊三角形可以得出DC=EC，AC=BC，由旋轉(zhuǎn)可以得出∠ACD=∠BCE，從而可以得出△BCE≌△ACD，就可以得出BE=AD．
（2）由△ABC、△DEC是等邊三角形可以得出∠E=∠C=∠AGB=60°，可以得出∠EGM+∠EMG=120°，∠EGM+∠NGC=120°，可以得出∠EMG=∠NGC，從而得出△EGM∽△CNG，就可以得出一個(gè)比利式，轉(zhuǎn)化為等積式就可以了．
（3）由條件可以得出∠ACF=30°，可以得出∠QTC=30°，得出CQ=QT=x，可以表示出RT=3-x，SR=

1

2

（3-x），ST=

3

2

（3-x），就可以求出S_△SRT=

1 2 (3-x)• 3 2 (3-x)

2

=

3

8

(3-x)2，就可以用S_△PQR-S_△SRT=y，求出解析式．

解答：（1）解：BE=AD．
證明：∵△ABC和△DCE是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．

（2）證明：∵△ABC、△DEC是等邊三角形，
∴∠E=∠C=∠AGB=60°，
∴∠EGM+∠EMG=120°，∠EGM+∠NGC=120°，
∴∠EMG=∠NGC，
∴△EGM∽△CNG，
∴

EG

CN

=

EM

CG

∴CN•EM=EG•CG．

（3）解：如圖4，在△CQT中，由旋轉(zhuǎn)得∠TCQ=30°．
∵△RPQ是等邊三角形，
∴∠RPQ=∠SRT=60°，
∴∠QTC=∠RTS=30°，
∴∠QTC=∠QCT，∠RST=90°
∴QT=QC=x．
∴RT=3-x，
∴SR=

1

2

（3-x），在Rt△SRT中，由勾股定理，得
ST=

3

2

（3-x），
∴S_△SRT=

1 2 (3-x)• 3 2 (3-x)

2

=

3

8

(3-x)2，
∵S_△RPQ=

3× 3 2 3

2

=

9

4

3

，
∴y=

9

4

3

-

3

8

(3-x)2
y=

9

4

3

-

3

8

(9-6x+x2)
y=-

3

8

x2+

3

4

3

x+

9

8

3

（0≤x≤3）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)．