Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條非直徑的弦，且AB∥CD，連接AD和BC，
（1）AD和BC相等嗎？為什么？
（2）如果AB=2AD=4，且A、B、C、D四點(diǎn)在同一拋物線上，請?jiān)趫D中建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出該拋物線的解析式．
（3）在（2）中所求拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S_△PAB=

1

2

S_{四邊形ABCD}？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行弦所夾的弧相等，在同圓或等圓中，等弧所對的弦相等解答；
（2）以圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再連接OD，過點(diǎn)D作DE⊥AO于點(diǎn)E，可以證明△AOD是等邊三角形，然后求出OE、DE的長度，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)對稱性求出CD的長度，然后求出四邊形ABCD的面積，然后求出點(diǎn)P到x軸的距離，再分點(diǎn)P在x軸上方與下方兩種情況得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式計(jì)算求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即可得解．

解答：解：（1）AD=BC．
理由如下：∵AB∥CD，
∴

AD

=

BC

，
∴AD=BC；

（2）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，∵AB=2AD=4，
∴AO=BO=2，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（2，0），
連接OD，過點(diǎn)D作DE⊥AO于點(diǎn)E，
則OD=AO=2，
∴△AOD是等邊三角形，
OE=

1

2

AO=

1

2

×2=1，
DE=

OD2-OE2

=

22-12

=

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，

3

），
設(shè)過A、B、C、D四點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

4a-2b+c=0 4a+2b+c=0 a-b+c= 3

，
解得

a=- 3 3 b=0 c= 4 3 3

，
所以，該拋物線的解析式為y=-

3

3

x²+

4 3

3

；

（3）存在．理由如下：
由對稱性可得CD=2OE=2×1=2，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

，
設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，∵S_△PAB=

1

2

S_{四邊形ABCD}，
∴

1

2

×4•h=

1

2

×3

3

，
解得h=

3 3

4

，
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

3 3

4

，
所以，-

3

3

x²+

4 3

3

=

3 3

4

，
解得x=±

7

2

，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

7

2

，

3 3

4

）或（

7

2

，

3 3

4

），
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-

3 3

4

，
所以，-

3

3

x²+

4 3

3

=-

3 3

4

，
解得x=±

5

2

，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

5

2

，-

3 3

4

）或（

5

2

，-

3 3

4

），
綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)P（-

7

2

，

3 3

4

）或（

7

2

，

3 3

4

）或（-

5

2

，-

3 3

4

）或（

5

2

，-

3 3

4

），使得S_△PAB=

1

2

S_{四邊形ABCD}．

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，主要利用了平行弦所夾的弧相等，等弧所對的弦相等，等腰梯形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，（3）注意要分點(diǎn)P在x軸上方與下方兩種情況討論．