Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列四個(gè)結(jié)論：

①∠AOB＝90°+∠C；

②AE+BF＝EF；

③當(dāng)∠C＝90°時(shí)，E，F分別是AC，BC的中點(diǎn)；

④若OD＝a，CE+CF＝2b，則S△CEF＝ab．

其中正確的是（　　）

A.①②B.③④C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理判斷①；根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷③；根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷④．

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，

∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，

∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB

＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB

＝180°﹣（180°﹣∠C）

＝90°+∠C，①正確；

∵EF∥AB，

∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，

∴∠FOB＝∠FBO，

∴FO＝FB，

同理EO＝EA，

∴AE+BF＝EF，②正確；

當(dāng)∠C＝90°時(shí)，AE+BF＝EF＜CF+CE，

∴E，F不是AC，BC的中點(diǎn)，③錯(cuò)誤；

作OH⊥AC于H，

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，

∴點(diǎn)O在∠C的平分線上，

∴OD＝OH，

∴S△CEF＝×CF×OD×CE×OH＝ab，④正確．

故選：C．