Question

【題目】已知在中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

（1）若AD是∠BAC的角平分線，AD交BC邊于D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB與點(diǎn)E(如圖1)，請(qǐng)求出BE的長(zhǎng)及的值；

（2）點(diǎn)F是邊AC上的一點(diǎn)，連接BF，把沿著直線BF對(duì)折得到，與AC交于點(diǎn)G，若BC=CF，如圖2，請(qǐng)證明∽；

（3）點(diǎn)F是邊AC上的一點(diǎn)，連接BF，把沿著直線BF對(duì)折得到，與AC交于點(diǎn)G，若，如圖3，請(qǐng)求出的值(可以直接利用第（1）題求出的結(jié)論)

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）設(shè)CD=DE=x，則BD=6-x，通過(guò)是的角平分線，，，證明△ADE≌△ADC（AAS），可得CD=DE，AE=AC=8，推出，再根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
（2）設(shè)的度數(shù)為，由折疊可得，根據(jù)，，

可得，利用折疊和三角形的外角的性質(zhì)，可得，則可證∽

（3）作A′H⊥AC于H，設(shè)的長(zhǎng)度為，利用≌，∥，得到，由（1）得，則，解得，則有．

解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10，

（1）設(shè)的長(zhǎng)度為，則

∵是的角平分線，，

∴，

又∵，，

∴≌（AAS）

∴

∴

在直角中，

∴

解得

∴

綜上所述，，

（2）設(shè)的度數(shù)為，由折疊可得

∵，

∴

∴

∵

∴

∴

∴

又∵

∴∽

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

設(shè)的長(zhǎng)度為，由折疊可得≌

∴，，，

∵，

∴

∴

∵

∴∥

∴

由（1）得

∴

∴

解得

∴