如圖所示,已知△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O交BC于D,交AC于E,過D作DF⊥AC于F
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)連接DE,且AB=4,若∠FDC=30°,試求△CDE的面積.
分析:(1)連接OD,由AB=AC,利用等邊對等角得到一對角相等,再由OB=OD,利用等邊對等角得到一對角相等,等量代換得到∠ODB=∠C,利用同位角相等兩直線平行,根據(jù)DF垂直于AC,得到DF垂直于OD,即可確定出DF為圓的切線;
(2)連接DE,AD,根據(jù)∠FDC與∠DFC的度數(shù)求出∠C的度數(shù)為60°,由AB=AC,得到三角形ABC為等邊三角形,進而確定出三角形EDC為等邊三角形,由AB為圓的直徑,利用直徑所對的圓周角為直角得到AD垂直于BC,利用三線合一得到D為BC中點,求出CD的長,進而確定出EC與DF的長,求出三角形DEC的面積即可.
解答:(1)證明:連接OD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∴∠C=∠ODB,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
則DF為圓O的切線;

(2)解:連接DE,AD,
∵∠FDC=30°,∠DFC=90°,
∴∠C=60°,
∵AB=AC,
∴△ABC為等邊三角形,
∵∠CED為圓內接四邊形ABDE的外角,
∴∠CED=∠B=60°,
∴△DEC為等邊三角形,
∵AB為圓O的直徑,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∴D為BC的中點,即DC=
1
2
BC=
1
2
AB=2,
∴EC=DC=2,DF=
3
,
則S△DEC=
1
2
×2×
3
=
3
點評:此題考查了切線的判定,圓周角定理,平行線的性質,垂徑定理,以及等腰三角形的判定與性質,熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵.
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