【題目】已知:二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,對稱軸是直線x=1,且圖象向右平移一個(gè)單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)直線交y軸于D點(diǎn),E為拋物線頂點(diǎn).若∠DBC=α,∠CBE=β,求α-β的值.
(3)在(2)問的前提下,P為拋物線對稱軸上一點(diǎn),且滿足PA=PC,在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得△BDM的面積等于PA2若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為;
(2)α-β=45°
(3)綜上所述,存在符合條件的點(diǎn)M其坐標(biāo)為或.
【解析】分析: (1)根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo),將它們代入拋物線的解析式中,通過聯(lián)立方程組求得待定系數(shù)的值,即可確定該拋物線的解析式;
(2)根據(jù)拋物線和直線BD的解析式,可求得C、D、E的坐標(biāo),即可得到∠OBC=∠OCB=45 °;所求角的度數(shù)差可轉(zhuǎn)化為∠OBC的度數(shù);在Rt△OBC中,已經(jīng)求得∠OBC=∠OCB=45 °,由此得解;
(3)易知拋物線的對稱軸方程,可設(shè)出點(diǎn)P的解析式,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而得到PA的值,即可求得△BDM的面積.可用面積割補(bǔ)法求解.
本題解析:
(1)由題意,A(-1,0)
對稱軸是直線x=1
∴B(3,0)
把A(-1,0),B(3,0)分別代入y=ax-2x+c得
解得
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x-2x-3
(2) ∵直線 與y軸交于D(0,1), ∴OD=1
由Y=X-2X-3=(x-1)-4得E91,-4)
連接CE過E作EF⊥y軸于F(如圖1),則EF=1
∵拋物線y=x-2x-3與y軸交于C90,-3
∴OC=OB=3,CF=1=EF
(如圖1)
∴∠OBC=∠OCB=∠FCE=45°,
BC=,CE=
∴∠BCE=90°=∠BOD, ,
∴
∴△BOD∽△BCE
∴∠CBF=∠DBO
∴
(3)設(shè)P(1,n)
∵PA=PC
∴PA=PC, 即(1+1)+(n-0)=(1+0)+(n+3)
解得n=-1
∴PA=(1+1)+(-1-0)=5
∴
方法一:設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,m-2m-3),則m>0
①當(dāng)M在直線BD上側(cè)時(shí),連接OM(如圖1),
則
即
整理,得
解得 (舍去),
把代入 得
∴
②當(dāng)M在直線BD下側(cè)時(shí),不妨叫連接 (如圖1),
則
即
整理,得
解得 (舍去)
把m=2代入 得y=-3
∴
綜上所述,存在符合條件的點(diǎn)M其坐標(biāo)為或(2,-3).
方法二:設(shè)存在符合條件的點(diǎn),則m>0
①當(dāng)M在直線BD上側(cè)時(shí),過M作MG∥y軸,交DB于G(如圖2)
設(shè)D、B到MG距離分別為則
即 , ,
整理,得
解得 (舍去),
把代入y=m-2m-3得y=
∴M()
②當(dāng)M在直線BD下側(cè)時(shí),不妨叫過作∥y軸,交DB于 (如圖2)
設(shè)D、B到距離分別為則
即
整理,得3m-5m-2=0
解得 (舍去)
把m=2代入y=m-2m-3得y=-3
∴
綜上所述,存在符合條件的點(diǎn)M其坐標(biāo)為或(2,-3)
方法三:①當(dāng)M在直線BD上側(cè)時(shí),過M作MH∥BD交y軸于H,連接BH(如圖3)
則,即
∴DH=
∴H(0, )
∴直線BH解析式為y=
聯(lián)立 得 或
M在y軸右側(cè), ∴M坐標(biāo)為
②當(dāng)M在直線BD下側(cè)時(shí),不妨叫 過作∥BD,交y軸于,
連接B (如圖3),同理可得D=
∴ (0, )
∴直線 解析式為
聯(lián)立得或
∵在y軸右側(cè),∴坐標(biāo)為(2,-3)
綜上所述,存在符合條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為或(2,-3).
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【題目】正方形ABCD的邊長為1,其面積記為S1 , 以CD為斜邊作等腰直角三角形,以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形,其面積記為S2 , …按此規(guī)律繼續(xù)下去,則S9的值為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】我市2014年固定資產(chǎn)投資約為220 000 000 000元,將220 000 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為 .
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【題目】若∠AOB=90,∠BOC=40,則∠AOB的平分線與∠BOC 的平分線的夾角等于( )
A.65
B.25
C.65或25
D.60或20
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D為BC的中點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,連接DE,當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí),t的值______________.
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【題目】已知以下基本事實(shí):①對頂角相等;②一條直線截兩條平行線所得的同位角相等;③兩條直線被第三條直線所截,若同位角相等,則這兩條直線平行;④經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線平行于已知直線.
(1)在利用以上基本事實(shí)作為依據(jù)來證明命題“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”時(shí),必須要用的基本事實(shí)有____(填入序號即可);
(2)根據(jù)在(1)中的選擇,結(jié)合所給圖形,請你證明命題“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”,
已知:如圖,_____________________________.
求證:________.
證明:____________________.
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【題目】若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.m<1B.m≤1C.m>1D.m≥1
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