Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，以O(shè)B為直徑的⊙C與AB交于點D，DE與⊙C相切交x軸于點E，且 OA=12cm，∠OAB=30°．
（1）求點B的坐標(biāo)及直線AB的解析式；
（2）過點B作BG⊥EC于 F，交x軸于點G，求BD的長及點F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點P從點A開始沿A→B→G的方向以4cm/s的速度勻速向點G移動，點Q同時從點A開始沿AG勻速向點G移動，當(dāng)四邊形CBPQ為平行四邊形時，求點Q的移動速度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=，可得AB=2OB，求出AO的長，進(jìn)而求出直線AB的解析式即可；
（2）利用切線的性質(zhì)定理以及勾股定理得出EO的長，進(jìn)而求出FM，MO的長即可；
（3）根據(jù)當(dāng)點P運(yùn)動到AB中點，點Q運(yùn)動到AO中點時，PQ∥BC，且PQ=BC，此時四邊形CBPQ為平行四邊形，點Q與點E重合，以及 當(dāng)點P運(yùn)動到BG中點，點Q運(yùn)動到OG中點時，分別得出答案．
解答：解：（1）由OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=，可得AB=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24．
∴B（0，12），
∵OA=，
∴A （，0）．
可設(shè)直線AB的解析式為：y=ax+b，
∴，
∴，
∴可得直線AB的解析式為：．

（2）連接CD，過F作FM⊥x軸于點M，則CB=CD．
∵∠OBA=90°-∠A=60°，
∴△CBD是等邊三角形．
∴BD=CB=OB=6，
∠BCD=60°，∠OCD=120°．
∵OB是直徑，OA⊥OB，
∴OA切⊙C于O．
∵DE切⊙C于D，
∴∠COE=∠CDE=90°，∠OEC=∠DEC．
∴∠OED=360°-∠COE-∠CDE-∠OCD=60°．
∴∠OEC=∠DEC=30°．
∴CE=12，CO=6．
∴在Rt△COE中，由勾股定理OE=．
∵BG⊥EC于F，
∴∠GFE=90°．
∵∠GBO+∠BGO=∠OEC+∠BGO，
∴∠GBO=∠OEC=30°．
故可得FC=BC=3，EF=FC+CE=15，
FM=EF=，ME=FM=．
∴MO=．
∴F（，）．

（3）設(shè)點Q移動的速度為vcm/s．
（�。┊�(dāng)點P運(yùn)動到AB中點，點Q運(yùn)動到AO中點時，PQ∥BC，且PQ=BC，此時四邊形CBPQ為平行四邊形，點Q與點E重合．
．
∴（cm/s）．
（ⅱ） 當(dāng)點P運(yùn)動到BG中點，點Q運(yùn)動到OG中點時，
PQ∥BC，PQ=BC，此時四邊形CBPQ為平行四邊形．
可得，BG=．從而PB=，OQ=．
∴．
∴（cm/s）．
∴點Q的速度為cm/s或cm/s．
點評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知點P運(yùn)動的位置進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．