(1)證明:過點O作OM∥AB交PC于點M,
則∠COM=∠CAB.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OA=OC,∠CAB=∠CBD=∠COM=45°,
∴AP=2OM.又∵∠1=∠2,
∴∠1+∠COM=∠2+∠CBD,
即∠OMQ=∠OQM.
∴OM=OQ∴AP=2OQ.
(2)解:根據(jù)題意作出圖形,如圖所示
①ⅰ、當(dāng)PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°時,作EF⊥AB交BA延長線于點F,
則∠EFP=∠PBC=90°,∠3+∠CPB=90°.又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2.
又PE由PC繞點P旋轉(zhuǎn)形成∴PE=PC∴△EPF≌△CPB.
∴EF=BP=x,∴AP=1-x,
∴
.
∴△APE的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為
(0,x,1).
ⅱ、當(dāng)PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°時,作E′G⊥AB交AB延長線于點G,
則同理可得△E′PG≌△CPB,E′G=BP=x.
∴△APE的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為
由ⅰ、ⅱ可得△APE的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為
,(0,x,1)
②由①知S與x的函數(shù)關(guān)系式為
,(0,x,1)
即
,(0,x,1)
∴當(dāng)
時S的值最大,最大值為
.此時點P所在的位置是邊AB的中點處.
分析:(1)過點O作OM∥AB交PC于點M,首先根據(jù)四邊形ABCD是正方形求出OA=OC,∠CAB=∠CBD=∠COM,然后根據(jù)角之間的關(guān)系求出∠OMQ=∠OQM,即可證明出AP=2QO,
(2)①先作出圖形,然后進行分類討論:i當(dāng)PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°時,作EF⊥AB交BA延長線于點F,首先證明△EPF≌△CPB得到AP和EF的值,然后根據(jù)面積公式求出S和x的函數(shù)關(guān)系式,ii當(dāng)PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°時,作EG⊥AB交AB延長線于點G,同理求出S和x的函數(shù)關(guān)系式,②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),把二次函數(shù)寫成頂點坐標式求出最值.
點評:本題主要考查二次函數(shù)的最值、全等三角形的判定和正方形的知識點,本題把幾何知識和函數(shù)問題結(jié)合起來,本題有點難度,還需要分類討論,這是同學(xué)們?nèi)菀缀雎缘模?