【題目】如圖,⊙C的內(nèi)接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A(4,0)與點(﹣2,6).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)直線m與⊙C相切于點A,交y軸于點D.動點P在線段OB上,從點O出發(fā)向點B運動;同時動點Q在線段DA上,從點D出發(fā)向點A運動;點P的速度為每秒一個單位長,點Q的速度為每秒2個單位長,當PQ⊥AD時,求運動時間t的值;
(3)點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上,當△ROB面積最大時,求點R的坐標.
【答案】(1) y=x2﹣2x.(2) t=1.8秒;(3) R(,).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A(4,0)與點(﹣2,6),利用待定系數(shù)法求拋物線解析式;
(2)如圖1,由已知條件,可以計算出OD、AE等線段的長度.當PQ⊥AD時,過點O作OF⊥AD于點F,此時四邊形OFQP、OFAE均為矩形.則在Rt△ODF中,利用勾股定理求出DF的長度,從而得到時間t的數(shù)值;
(3)因為OB為定值,欲使△ROB面積最大,只需OB邊上的高最大即可.按照這個思路解決本題.
如圖2,當直線l平行于OB,且與拋物線相切時,OB邊上的高最大,從而△ROB的面積最大.聯(lián)立直線l和拋物線的解析式,利用一元二次方程判別式等于0的結(jié)論可以求出R點的坐標.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A(4,0)與點(﹣2,6),
∴,
解得
∴拋物線的解析式為:y=x2﹣2x.
(2)如圖1,連接AC交OB于點E,由垂徑定理得AC⊥OB.
∵AD為切線,
∴AC⊥AD,
∴AD∥OB.
過O點作OF⊥AD于F,
∴四邊形OFAE是矩形,
∵tan∠AOB=,
∴sin∠AOB=,
∴AE=OAsin∠AOB=4×=2.4,
OD=OAtan∠OAD=OAtan∠AOB=4×=3.
當PQ⊥AD時,OP=t,DQ=2t.
在Rt△ODF中,
∵OD=3,OF=AE=2.4,DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t,
由勾股定理得:DF=,
∴t=1.8秒;
(3)如圖2,設直線l平行于OB,且與拋物線有唯一交點R(相切),
此時△ROB中OB邊上的高最大,所以此時△ROB面積最大.
∵tan∠AOB=,∴直線OB的解析式為y=x,
由直線l平行于OB,可設直線l解析式為y=x+b.
∵點R既在直線l上,又在拋物線上,
∴x2﹣2x=x+b,化簡得:2x2﹣11x﹣4b=0.
∵直線l與拋物線有唯一交點R(相切),
∴判別式△=0,即112+32b=0,解得b=﹣,
此時原方程的解為x=,即xR=,
而yR=xR2﹣2xR=
∴點R的坐標為R(,).
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【題目】一臺收割機工作效率相當于一個農(nóng)民工作效率的150倍,用這臺機器收割10公頃小麥比100個農(nóng)民人工收割這些小麥要少用1小時,這臺收割每小時收割多少公頃小麥?
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【題目】今年春節(jié)我市共接待國內(nèi)外游客總?cè)藬?shù)3343200萬人次,3343200這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為( )
A. 0.33432×106 B. 3.3432×106 C. 3.3432×105 D. 33.432×105
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【題目】芝麻作為食品和藥物,均廣泛使用.經(jīng)測算,一粒芝麻約有0.00000201千克,用科學記數(shù)法表示為( 。
A. 2.01×10-6千克 B. 0.201×10-5千克 C. 20.1×10-7千克 D. 2.01×10-7千克
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【題目】下列說法中正確的有( ):①單項式必須是同類項才能相乘;②幾個單項式的積,仍是單項式;③幾個單項式之和仍是單項式;④幾個單項式相乘,有一個因式為0,積一定為0.
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】將二次函數(shù)y=x2的圖象向下平移一個單位,則平移以后的二次函數(shù)的解析式為( )
A.y=x2-1 B.y=x2+1
C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2
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【題目】如圖,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠A=33°,將三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF.
(1)試求出∠E的度數(shù);
(2)若AE=9 cm,DB=2 cm,求出BE的長度.
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