Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、，將對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C，

求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；

若拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

若點(diǎn)Q是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得以A、B、Q為頂點(diǎn)并且以AB為直角邊的直角三角形，直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線BC上不存在符合題意的點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形；（3）、

【解析】試題分析：

（1）由OB=3，tan∠OAB=，∠AOB=90°，可得AO=4，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）由此可得AB=5；由題意可知BC平分∠ABO，從而可得OC：AC=OB：AB=3：5，從而可得OC=1.5，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1.5，0），再用“待定系數(shù)法”即可求得拋物線的解析式；

（2）把（1）中所得解析式配方可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得BC的解析式，設(shè)點(diǎn)E為OA中點(diǎn)，則可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），若四邊形ODAP是平行四邊形，則點(diǎn)D和點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將所得的點(diǎn)P的坐標(biāo)代入BC的解析式檢驗(yàn)，看點(diǎn)P是否在直線BC上，即可得到結(jié)論；

（3）過點(diǎn)A、B分別作AB的垂線，由AB的解析式求出兩條垂線的解析式，把兩解析式分別和拋物線的解析式組合得到列方程組，解方程組即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

試題解析：

（1）如圖，∵OB=3，tan∠OAB=，∠AOB=90°，

∴OA=4，AB=，

∵由題意可知BC平分∠ABO，

∴OC：AC=OB：AB=3：5，

∴OC==1.5，

∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3），（1.5，0），

∴可設(shè)拋物線解析式為，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為：，即；

（2）∵，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ，

設(shè)點(diǎn)E為OA的中點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），若四邊形ODAP是平行四邊形，則點(diǎn)P和點(diǎn)D關(guān)于E點(diǎn)對(duì)稱，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

∵直線BC過點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)C（1.5，0），

∴直線BC的解析式為，

∵在中，當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)P不在直線BC上，

∴直線BC上不存在點(diǎn)P使四邊形ODAP為平行四邊形；

（3）過點(diǎn)A作直線l1⊥AB，過點(diǎn)B作直線l2⊥AB，

∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4，0）和（0，3），

∴直線AB的解析式為：，

∴可得：直線l1的解析式為：，直線l2的解析式為：，

由 解得： ， ；

由 解得： ；

∵點(diǎn)Q不能與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 、.