Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)分別為M、N ，與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）和C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），

(1))函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；當(dāng)二次函數(shù)L1 ，L2 的值同時(shí)隨著的增大而增大時(shí)，的取值范圍是 ；

(2)當(dāng)AD=MN時(shí)，求的值，并判斷四邊形AMDN的形狀（直接寫出，不必證明）；

(3)當(dāng)B，C是線段AD的三等分點(diǎn)時(shí)，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-1，-2），；（2）四邊形AMDN是矩形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）把化為頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)圖像即可求出次函數(shù)L1 ，L2 的值同時(shí)隨著的增大而增大時(shí)，的取值范圍；

（2）由兩點(diǎn)間的距離公式求出MN的長(zhǎng)，用含a的代數(shù)式表示出AD的長(zhǎng)，根據(jù)AD=MN列方程即可求出a的值；由兩點(diǎn)間的距離公式可求AN=MD，AM=DN，從而可證四邊形AMDN是平行四邊形，又AD=MN，所以可證四邊形AMDN是矩形；

（3）當(dāng)B，C是線段AD的三等分點(diǎn)時(shí)，分兩種情況，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解：①點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊，②點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊.

（1）∵

∴，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-1，-2）；

∵M（-1，-2），N（2，2），

∴當(dāng)時(shí)， L1 的y值隨著x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，L2的y值隨著x的增大而增大.

∴的取值范圍是 .

（2）如圖1，=5，

當(dāng)y=0時(shí)，即，解得，，

當(dāng)y=0時(shí)，即，，，

∴AD=（）-（）=img src="http://thumb.zyjl.cn/Upload/2019/10/22/08/84bfb46e/SYS201910220806224121870752_DA/SYS201910220806224121870752_DA.019.png" width="56" height="36" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

當(dāng)AD=MN時(shí)，即=5，解得a=2 .

當(dāng) a=2時(shí)，

=-2，=3，

∵AN=,DM=,

∴AN=DM,

∵AM=,DN=,

∴AM=DN,

∴四邊形AMDN是平行四邊形，

∵AD=3-(-2)=5,MN=5,

∴AD=MN,

∴四邊形AMDN是矩形 ;

（3）當(dāng)B，C是線段AD的三等分點(diǎn)時(shí)，存在以下兩種情況：

①點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊，如圖2，BC=（）-（）=，AC=BD=3 ，

即 =3，解得 ;

②點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊，如圖3，CB=（）-（）=，AB=CD= ，

即=，解得 .