【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,如果點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動,同時點F由點D出發(fā)沿DA方向向點A勻速運動,它們的速度分別為每秒2cm和1cm,F(xiàn)Q⊥BC,分別交AC、BC于點P和Q,設運動時間為t秒(0<t<4).
(1)連接EF,若運動時間t= 時,EF⊥AC;
(2)連接EP,當△EPC的面積為3cm2時,求t的值;
(3)若△EQP∽△ADC,求t的值.
【答案】(1)秒;(2)2秒;(3)2秒.
【解析】
(1)先確定出AC=10,進而得出∠ACB的余弦值,利用三角函數(shù)得出CP,CG,即可得出PG,再判斷出△PFG∽△EFQ,建立方程即可得出結論,
(2)利用三角形的面積建立方程即可得出結論;
(3)先判斷出EQ=CQ,進而得出CE=2CQ,建立方程即可得出結論.
解:(1)如圖1,
在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,根據(jù)勾股定理得,AC=10,
∵∠B=∠D=∠BCD=90°,F(xiàn)Q⊥BC于Q,
∴四邊形CDFQ是矩形,
∴CQ=DF,
由運動知,BE=2t,DF=t,
∴CQ=t,CE=BC﹣BE=8﹣2t,AF=8﹣t,
∴EQ=CE﹣CQ=8﹣3t,
在Rt△ABC中,cos∠ACB=,
在Rt△CPQ中,cos∠ACB=,
∴CP=t,
∵EF⊥AC,
∴∠CGE=90°=∠ABC,
∴∠ACB+∠FEQ=90°,
∵∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠FEQ=∠BAC,
∴△ABC∽△EQF.
∴
∴,
∴EQ=,
∴8﹣3t=,
t=秒;
故答案是:秒;
(2)由(1)知,CE=8﹣2t,CQ=t,
在Rt△ABC中,tan∠ACB=,
在Rt△CPQ中,tan∠ACB=,
∴PQ=t,
∵△EPC的面積為3cm2,
∴S△EPC=CE×PQ=×(8﹣2t)×t=3,
∴t=2秒,
即:t的值為2秒;
(3)四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,
∵△EQP∽△ADC,
∴∠CAD=∠QEP,
∴∠ACB=∠QEP,
∴EQ=CQ,
∴CE=2CQ,
由(1)知,CQ=t,CE=8﹣2t,
∴8﹣2t=2t,
∴t=2秒.
即:t的值為2秒.
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【題目】已知:如圖,Rt△ABC和Rt△ABD中,∠ACB=∠ADB=90°,E為AB中點.
(1)若兩個直角三角形的直角頂點在AB的異側(如圖1),連接CD,取CD中點F,連接EF、DE、CE,則DE與CE數(shù)量關系為 ,EF與CD位置關系為 ;
(2)若兩個直角三角形的直角頂點在AB的同側(如圖2),連接CD、DE、CE.
①若∠CAB=25°,∠DBA=35°,判斷△DEC的形狀,并說明理由;
②若∠CAB+∠DBA=,當為多少度時,△DEC為等腰直角三角形,并說明理由.
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【題目】如圖,等邊中,,關于軸對稱,交軸負半軸于點,.
(1)如圖1,求點坐標;
(2)如圖2,為軸負半軸上任一點,以為邊作等邊,的延長線交軸于點,求的長;
(3)如圖3,在(1)的條件下,以為頂點作的角,它的兩邊分別與、交于點和,連接.探究線段、、之間的關系,并子以證明.
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【題目】已知:如圖點在正比例函數(shù)圖象上,點坐標為,連接,,點是線段的中點,點在線段上以每秒2個單位的速度由點向點運動,點在線段上由點向點運動,兩點同時運動,同時停止,運動時間為秒.
(1)正比例函數(shù)的關系式為 ;
(2)當秒,且時,求點的坐標;
(3)連接,在點運動過程中,與是否全等?如果全等,請求出點的運動速度;如果不全等,請說明理由.
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【題目】小紅爸爸從家騎電瓶車出發(fā),沿一條直路到相距2400m的學校接小紅回家,小紅爸爸出發(fā)的同時,小紅以96m/min的速度從學校沿同一條道路步行回家,小紅爸爸趕到學校校門口等候2min后知道小紅已離校,立即沿原路以原速返回,設他們出發(fā)的時間為t min,圖示中的折線OABD表示小紅爸爸與家之間的距離S1與t之間的函數(shù)關系,線段EF表示小紅與家之間的距離S2與t之間的函數(shù)關系,則小紅爸爸從家出發(fā)在返回途中追上小紅的時間是( )
A.12minB.16minC.18minD.20min
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【題目】如圖,已知拋物線的頂點坐標為,且經(jīng)過點,與軸交于、兩點(點在點左側),與軸交于點.
求拋物線的解析式;
若直線經(jīng)過、兩點,且與軸交于點,試證明四邊形是平行四邊形;
點在拋物線的對稱軸上運動,請?zhí)剿鳎涸?/span>軸上方是否存在這樣的點,使以為圓心的圓經(jīng)過、兩點,并且與直線相切?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點,直線l是拋物線的對稱軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關系式;
(2)設點P是直線l上的一個動點,當△PAC的周長最小時,求點P的坐標;
(3)在直線l上是否存在點M,使△MAC為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC 中,AD⊥BC 于點 D,點 E 為BD邊上一點,過點 E 作 EG∥AD,分別交 AB 和 CA 的延長線于點 F,G,∠AFG=∠G.
(1)證明:△ABD≌△ACD
(2)若∠B=40°,直接寫出∠FAG= °
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