Question

如圖，四邊形ABCD、EFGH是兩個矩形紙片，邊EF在邊BC上滑動（E與B、F與C可以重合），過點E作EP∥AC交AB于點P，已知AB=6，AD=8，EF=

9

2

．
（1）求證：EP⊥EM；
（2）設(shè)BE=x，陰影部分面積為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并寫出x的取值范圍以及y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于EP∥AC，若證EP⊥EM，可證EM⊥AC；根據(jù)AB、BC、EF、MF的長，可證得Rt△ABC、Rt△EFM的兩組直角邊對應(yīng)成比例，即可證得這兩個三角形相似，得∠EMF=∠ECA，進而可證得AC⊥EM，由此得證．
（2）設(shè)HE、FG與AC的交點為R、Q，可用BE的長表示出EC、FC，再根據(jù)∠ACB的正切值，即可得到FQ、ER的長，進而可表示出梯形REFQ的面積，同理可求得△ARN的面積，兩者相加即可得到關(guān)于y、x的函數(shù)關(guān)系式，進而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得y的最小值及對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）∵AB=MF=6，BC=8，EF=

9

2

，
∴

AB

BC

=

EF

MF

=

3

4

，
又∵∠ABC=∠EFM=90°，
∴△EFM∽△ABC，
∴∠EMF=∠ACB，
∵∠FQC+∠ACB=90°，
∴∠AQM+∠EMF=90°，即AC⊥EM；
又∵AC∥EP，
∴EP⊥EM．

（2）∵BE=x，
∴EC=8-x，F(xiàn)C=8-

9

2

-x=

7

2

-x．
∵tan∠ACB=

RE

EC

=

AB

BC

=

QF

FC

=

3

4

，
∴RE=

3

4

EC=

3

4

（8-x）=6-

3

4

x，QF=

3

4

FC=

3

4

（

7

2

-x）=

21

8

-

3

4

x，NR=

3

4

x，
由S_陰影=S_△ANR+S_梯形REFQ可得：
y=

3

8

x2-

27

8

x+

621

32

=

3

8

(x-

9

2

)2+

189

16

（0≤x≤

7

2

）；
當(dāng)x=

7

2

時，y=

195

16

．

點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用，難度適中．