Question

閱讀材料：
在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點A（x₁，0），B（x₂，0）的距離記作|AB|=|x₁-x₂|，如果A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面上任意兩點，我們可以通過構造直角三角形來求AB間距離．
如圖，過A，B分別向x軸，y軸作垂線AM₁、AN₁和BM₂、BN₂，垂足分別是M₁（x₁，0），N₁（0，y₁），M₂（x₂，0），N₂（0，y₂），直線AN₁交BM₂于Q點，在Rt△ABQ中，|AB|²=|AQ|²+|QB|²．
∵|AQ|=|M₁M₂|=|x₂-x₁|，|QB|=|N₁N₂|=|y₂-y₁|，∴|AB|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2．
由此得任意兩點[A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）]間距離公式為：|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

．
（1）直接應用平面內(nèi)兩點間距離公式計算，點A（1，-3），B（-2，1）之間的距離為

5

；
（2）平面直角坐標系中的兩點A（1，3）、B（4，1），P為x軸上任一點，當PA+PB最小時，直接寫出點P的坐標為

（

13

4

，0）

，PA+PB的最小值為

5

；
（3）應用平面內(nèi)兩點間距離公式，求代數(shù)式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用兩點間的距離公式|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

解答；
（2）作點B關于x軸對稱的點B′，連接AB′，直線AB′于x軸的交點即為所求的點P；利用待定系數(shù)法求得直線AB′的解析式y(tǒng)=-

4

3

x+

13

3

，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征來求點P的坐標；PA+PB的最小值就是線段AB′的長度；
（3）已知代數(shù)式表示點（x，y）到點（0，2）和（3，1）的距離之和，由兩點之間線段最短來求代數(shù)式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

的最小值．

解答：解：（1）|AB|=

(-2-1)2+(1+3)2

=5； 
故答案為：5；
                                              
（2）如圖，作點B關于x軸對稱的點B′，連接AB′，直線AB′于x軸的交點即為所求的點P．
①∵B（4，1），
∴B′（4，-1）．
又∵A（1，3），
∴直線AB的解析式為：y=-

4

3

x+

13

3

，
當y=0時，x=

13

4

，即P（

13

4

，0）；   
②PA+PB=PA+PB′=AB′=

(4-1)2+(-1-3)2

=5，即                                      
PA+PB的最小值為．
故答案為：（

13

4

，0）；5；

（3）

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

=

(x-0)2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

故原式表示點（x，y）到點（0，2）和（3，1）的距離之和，
由兩點之間線段最短可得：點（x，y）在以（0，2）和（3，1）為端點的線段上時，代數(shù)式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

取最小值．
原式最小為

(0-3)2+(2-1)2

=

10

．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解答（2）題時，是根據(jù)“兩點之間，線段最短”來找點P的位置的．