已知拋物線y=x2-2x+a(a<0)與y軸相交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為M.直線y=x-a分別與x軸,y軸相交于B,C兩點(diǎn),并且與直線AM相交于點(diǎn)N.
(1)試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo);
(2)如圖,將△NAC沿y軸翻折,若點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N′恰好落在拋物線上,AN′與x軸交于點(diǎn)D,連接CD,求a的值和四邊形ADCN的面積;
(3)在拋物線y=x2-2x+a(a<0)上是否存在一點(diǎn)P,使得以P,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)已知了拋物線的解析式,不難用公式法求出M的坐標(biāo)為(1,a-1).由于拋物線過(guò)A點(diǎn),因此A的坐標(biāo)是(0,a).根據(jù)A,M的坐標(biāo),用待定系數(shù)法可得出直線AM的解析式為y=-x+a.直線AM和y=x-a聯(lián)立方程組即可求出N的坐標(biāo)為(a,-a).
(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)不難得出N與N′正好關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),因此N′的坐標(biāo)為(-a,-a).由于N′在拋物線上,因此將N′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可得出a的值.也就能確定N,C的坐標(biāo).求四邊形ADCN的面積,可分成△ANC和△ADC兩部分來(lái)求.已經(jīng)求得了A,C,N的坐標(biāo),可求出AC的長(zhǎng)以及N,D到y(tǒng)軸的距離.也就能求出△ANC和△ADC的面積,進(jìn)而可求出四邊形ADCN的面積.
(3)本題可分兩種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)P在y軸左側(cè)時(shí),如果使以P,N,A,C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,那么P需要滿足的條件是PN平行且相等于AC,也就是說(shuō),如果N點(diǎn)向上平移AC個(gè)單位即-2a后得到的點(diǎn)就是P點(diǎn).然后將此時(shí)P的坐標(biāo)代入拋物線中,如果沒(méi)有解說(shuō)明不存在這樣的點(diǎn)P,如果能求出a的值,那么即可求出此時(shí)P的坐標(biāo).
②當(dāng)P在y軸右側(cè)時(shí),P需要滿足的條件是PN與AC應(yīng)互相平分(平行四邊形的對(duì)角線互相平分),那么NP必過(guò)原點(diǎn),且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).那么可得出此時(shí)P的坐標(biāo),然后代入拋物線的解析式中按①的方法求解即可.
解答:解:(1)M(1,a-1),N(a,-a);

(2)∵由題意得點(diǎn)N與點(diǎn)N′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),
∴N′(-a,-a).
將N′的坐標(biāo)代入y=x2-2x+a得:
-a=a2+a+a,
∴a1=0(不合題意,舍去),
∴N(-3,),
∴點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為3.
∵A(0,-),N'(3,),
∴直線AN'的解析式為,它與x軸的交點(diǎn)為D(
∴點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為
∴S四邊形ADCN=S△ACN+S△ACD=××3+××=

(3)存在,理由如下:
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí),若ACPN是平行四邊形,則PN平行且等于AC,
則把N向上平移-2a個(gè)單位得到P,坐標(biāo)為(a,-a),代入拋物線的解析式,
得:-a=a2-a+a,
解得a1=0(不舍題意,舍去),a2=-
則P(-,);
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí),若APCN是平行四邊形,則AC與PN互相平分,
則OA=OC,OP=ON.
則P與N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
則P(-a,a);
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得:a=a2+a+a,
解得a1=0(不合題意,舍去),a2=-,
則P(,-).
故存在這樣的點(diǎn)P1(-,)或P2,-),能使得以P,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),能力要求較高.考查學(xué)生分類(lèi)討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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