Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）連接OC交DE于點(diǎn)F，若OF=CF，證明：四邊形OECD是平行四邊形；
（3）若，求tan∠ACO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證出DE經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑即可；
（2）利用中位線定理證出OE=CD，OE∥CD，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明四邊形OECD是平行四邊形；
（3）作OH⊥AC，構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用三角函數(shù)的定義解答即可．
解答：（1）證明：連接BD，OD，
∵AB是直徑，
∴BD⊥AC．
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EB=EC=DE，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
∴∠ODE=∠ABC=90°．
∴DE是⊙O的切線．

（2）證明：連接OE，
∵E是BC的中點(diǎn)，OF=CF，
∴EF是△OBC的中位線．
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴．
∵AO=BO，E是BC的中點(diǎn)，
∴OE∥AC且．
∴OE=CD，
∴四邊形OECD是平行四邊形．

（3）解：作OH⊥AC，垂足為H，不妨設(shè)OE=1，
∵，△OEF∽△CDF，
∴CD=n，
∵OE=1，
∴AC=2．
∴AD=2-n，由△CDB∽△BDA，得BD²=AD•CD．
∴BD²=n•（2-n），．
∴，而．
∴．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定、平行四邊形的判定和銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)在解題中起到了至關(guān)重要的作用．