Question

【題目】已知△ACB中，∠C=90°，以點A為中心，分別將線段AB, AC 逆時針旋轉60°得到線段AD, AE,連接DE，延長DE交CB于點F.

(1)如圖1，若∠B=30°，∠CFE的度數為_________；

(2)如圖2，當30°<∠B<60°時，

①依題意補全圖2;

②猜想CF與AC的數量關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】(1) 120°；(2)①作圖見解析；②，證明見解析

【解析】

（1）先求出∠BAC=60°，進而判斷出點E在邊AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），進而得出∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性質即可得出結論；

（2）①依題意補全圖形即可；

②先判斷出△ADE≌△ABC（SAS），進而得出∠AEF=90°，即可判斷出Rt△AEF≌Rt△ACF，進而求出∠CAF=∠CAE=30°，即可得出結論．

解：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=30°，

∴∠CAB=60°，

由旋轉知，∠DAE=60°=∠CAB，

∴點E在邊AB上，

∵AD=AB，AE=AC，

∴△ADE≌△ABC（SAS），

∴∠AED=∠ACB=90°，

∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°，

故答案為120°；

（2）①依題意補全圖形如圖2所示，

②如圖2，連接AF，

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠EAD=∠CAB，

∵AD=AB，AE=AC，

∴△ADE≌△ABC（SAS），

∴∠AED=∠C=90°，

∴∠AEF=90°，

∴Rt△AEF≌Rt△ACF，

∴∠EAF=∠CAF，

∴∠CAF=∠CAE=30°，

在Rt△ACF中，CF=AF，且AC2+CF2=AF2，

∴CF=AC．