【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,弦AD⊥BC,垂足為H,連接OB.
(1)如圖1,求證:∠DAC=∠ABO;
(2)如圖2,在弧AC上取點F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取點G,使AG∥OB,若∠BAC=600,
求證:GF=GD;
(3)如圖3,在(2)的條件下,AF、BC的延長線相交于點E,若AF:FE=1:9,求sin∠ADG的值。
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)延長BO交⊙O于點Q,連接AQ.由圓周角定理可得:∠AQB=∠ACB,再由等角的余角相等即可得出結(jié)論;
(2)證明△DFG是等邊三角形即可;
(3)延長GA,作FQ⊥AG,垂足為Q,作ON⊥AD,垂足為N,作OM⊥BC,垂足為M,延長AO交⊙O于點R,連接GR.作DP⊥AG,DK⊥AE,垂足為P、K.設(shè)AF=k,則FE=9k,AE=10k.在△AHE中, AH=5k.設(shè)NH=x,則AN=5k-x, AD=10k-2x.在△AQF中, AF=k,AQ=,FQ=k.由(2)知:△GDF是等邊三角形,得到GD=GF=DF,進而得到AG=9k-2x.
OM=NH=x,BC=x, GF=BC=x.在△GQF中,GQ=AG+AQ=k-2x,QF=k,GF=x,由勾股定理解出,得到AG=9k-2x= ,AR=2OB=4OM=4x=7k.在△GAR中,由sin∠ADG=sin∠R即可得出結(jié)論.
試題解析:解:(1)證明:如圖1,延長BO交⊙O于點Q,連接AQ.
∵BQ是⊙O直徑,∴∠QAB=900.∵AD⊥BC,∴∠AHC=900.
∵弧AB=弧AB,∴∠AQB=∠ACB.
∵∠AQB+∠ABO=900,∠ACB+∠CAD=900
∴∠ABO=∠CAD
(2)證明:如圖2,連接DF.
∵AG∥OB,∴∠ABO=∠BAG.∵∠ABO=∠CAD,∴∠CAD=∠BAG.
∵∠BAC=600,∴∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠BAG=600,即∠GAD=∠BAC=60°.∵∠BAD=∠CAF.∴∠CAF+∠CAD=600,∴∠GAD=∠DAF=600,∴∠DGF=∠DAF=60°.
∵弧GD=弧GD,∴∠GAD=∠GFD=600,∴∠GFD=∠DGF=600,∴△DFG是等邊三角形,∴GD=GF.
(3)如圖3,
延長GA,作FQ⊥AG,垂足為Q,作ON⊥AD,垂足為N,作OM⊥BC,垂足為M,延長AO交⊙O于點R,連接GR.作DP⊥AG,DK⊥AE,垂足為P、K.
∵AF:FE=1:9,∴設(shè)AF=k,則FE=9k,AE=10k.在△AHE中,∠E=300,∴AH=5k.
設(shè)NH=x,則AN=5k-x.∵ON⊥AD,∴AD=2AN=10k-2x
又在△AQF中,∵∠GAF=1200,∴∠QAF=600,AF=k,∴AQ=,FQ=k.
由(2)知:△GDF是等邊三角形,∴GD=GF=DF,
∵∠GAD=∠DAF=600,∴DP=DK,∴△GPD≌△FKD,△APD≌△AKD
∴FK=GP,AP=AK,∠ADK=300,∴AD=2AK=AP+AK=AF+AG
∴AG=10k-2x-k=9k-2x.
∵作OM⊥BC,ON⊥AD,∴OM=NH=x.∵∠BOD=∠BOC=∠BAC=600
∴BC=2BM=x.∵∠BOC=∠GOF,∴GF=BC=x
在△GQF中,GQ=AG+AQ=k-2x,QF=k,GF=x
∵
∴,
.
∴AG=9k-2x= ,AR=2OB=4OM=4x=7k,
在△GAR中,∠RGA=900,
∴sin∠ADG=sin∠R==.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC、△DEP是兩個全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠PDE=90°.
(1)若將△DEP的頂點P放在BC上(如圖1),PD、PE分別與AC、AB相交于點F、G.求證:△PBG∽△FCP;
(2)若使△DEP的頂點P與頂點A重合(如圖2),PD、PE與BC相交于點F、G.試問△PBG與△FCP還相似嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著人們生活水平的提高,家用轎車越來越多地進入家庭.小明家中買了一輛小轎車,他連續(xù)記錄了7天中每天行駛的路程(如表),以50km為標準,多于50km的記為“+”,不足50km的記為“﹣”,剛好50km的記為“0”.
第一天 | 第二天 | 第三天 | 第四天 | 第五天 | 第六天 | 第七天 | |
路程(km) | ﹣8 | ﹣11 | ﹣14 | 0 | ﹣16 | +41 | +8 |
(1)請求出這七天平均每天行駛多少千米;
(2)若每行駛100km需用汽油6升,汽油價6.2元/升,請估計小明家一個月(按30天計)的汽油費用是多少元?
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【題目】探索規(guī)律,觀察下面算式,解答問題.
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
…
(1)請猜想:1+3+5+7+9+…+19=________;
(2)請猜想:1+3+5+7+9+…+(2n-1)=________;
(3)試計算:101+103+…+197+199.
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【題目】(1)已知一個角的補角比它的余角的 3 倍大 30°,求這個角的度數(shù);
(2)如圖,點 C、D在線段 AB上, D是線段 AB的中點, AC AD , AB6,求線段 CD的長.
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【題目】某學校需要置換一批推拉式黑板,經(jīng)了解,現(xiàn)有甲、乙兩廠家報價均為200元/米2,且提供的售后服務(wù)完全相同,為了促銷,甲廠家表示,每平方米都按七折計費;乙廠家表示,如果黑板總面積不超過20米2,每平方米都按九折計費,超過20米2,那么超出部分每平方米按六折計費.假設(shè)學校需要置換的黑板總面積為x米2.
(1)請分別寫出甲、乙兩廠家收取的總費用y(元)與x(米2)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請你結(jié)合函數(shù)圖象的知識幫助學校在甲、乙兩廠家中,選擇一家收取總費用較少的.
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【題目】如圖,已知在△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,點P開始從點A開始沿△ABC的邊做逆時針運動,且速度為每秒1cm,點Q從點B開始沿△ABC的邊做逆時針運動,且速度為每秒2cm,他們同時出發(fā),設(shè)運動時間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求PQ的長;
(2)在運動過程中,△PQB能形成等腰三角形嗎?若能,則求出幾秒后第一次形成等腰三角形;若不能,則說明理由;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(﹣2,3),B(﹣6,0),C(﹣1,0).
(1)請直接寫出點B關(guān)于點A對稱的點的坐標;
(2)將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出圖形,直接寫出點B的對應點的坐標;
(3)請直接寫出:以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校課外小組為了解同學們對學校“陽光跑操”活動的喜歡程度,抽取部分學生進行調(diào)查.被調(diào)查的每個學生按A(非常喜歡)、B(比較喜歡)、C(一般)、D(不喜歡)四個等級對活動評價.圖1和圖2是該小組采集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅統(tǒng)計圖.經(jīng)確認扇形統(tǒng)計圖是正確的,而條形統(tǒng)計圖尚有一處錯誤且并不完整.請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)此次調(diào)查的學生人數(shù)為___;
(2)條形統(tǒng)計圖中存在錯誤的是___(填A. B.C中的一個),并在圖中加以改正;
(3)在圖2中補畫條形統(tǒng)計圖中不完整的部分;
(4)如果該校有600名學生,那么對此活動“非常喜歡”和“比較喜歡”的學生共有多少人?
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