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【題目】開口向下的拋物線yax+1)(x4)與x軸的交點為A、BAB的左邊),與y軸交于點C.連接AC、BC

1)若△ABC是直角三角形(圖1),求二次函數的解析式;

2)在(1)的條件下,將拋物線沿y軸的負半軸向下平移kk0)個單位,使平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點,求k的值;

3)當點C坐標為(0,4)時(圖2),P、Q兩點同時從C點出發(fā),點P沿折線COB運動到點B,點Q沿拋物線(在第一象限的部分)運動到點B,若P、Q兩點的運動速度相同,請問誰先到達點B?請說明理由.(參考數據:.6,

【答案】(1);(2);(3)點P先到達點B

【解析】

1)根據已知的拋物線解析式,可求得A、B的坐標,在RtABC中,OCAB,利用射影定理的得到OC2=OAOB(或由相似三角形證得),即可得到OC的長,從而確定C點的坐標,將其代入拋物線的解析式中,即可確定a的值,從而求出該拋物線的解析式;
2)根據(1)所得拋物線的解析式,可求出其頂點坐標,由于函數圖象的平移方法已經確定,即沿y軸負半軸向下平移,若拋物線與坐標軸只有兩個交點,則有兩種情況:
CO重合,此時拋物線向下平移了OC長個單位,
②拋物線的頂點落在x軸上,此時拋物線向下平移的單位長度與(1)的拋物線的頂點縱坐標相同,
綜合上述兩種情況,即可求得k的值;
3)當C0,4)時,可根據其坐標確定此時拋物線的解析式,進而求得其頂點D的坐標;P點的移動距離易求得(即OC+OB),而Q點的軌跡是一條曲線,無法直接求得,因此需要化曲為直,間接的和P點的移動距離進行比較;連接CD、BD,根據BC、D三點坐標,即可求得CD、BD的長,從而確定BD+CDOC+OB的大小關系,顯然Q點移動距離要大于CD+BD,這樣就判斷出P、Q兩點的路程誰大誰小,由于兩點的速度相同,那么路程短的就先到達B點.

解:拋物線yax+1)(x4)與x軸的交點為A(﹣10)、B4,0).

1)若△ABC是直角三角形,只有∠ACB90°

由題意易得△ACO∽△COB,

,

,

CO2

∵拋物線開口向下,

C0,2

C02)代入得:

0+1)(04a2,

2)由可得:

拋物線的頂點為(,),點C0,2),

當點C向下平移到原點時,

平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點,

k2

當頂點向下平移到x軸時,

平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點,

;

3)當點C為(04)時,拋物線的解析式為y=﹣(x+1)(x4),

拋物線的頂點為D

連接DC、DB

D,),B4,0),C0,4),

CD

DB;

CD+DB2.7+6.759.45

CO+OB4+48,

DB+DCCO+OB

由函數圖象可知第一象限內的拋物線的長度比CD+DB還要長

所以第一象限內的拋物線的長度要大于折線COB的長度

所以點P先到達點B

練習冊系列答案
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