【題目】開口向下的拋物線y=a(x+1)(x﹣4)與x軸的交點為A、B(A在B的左邊),與y軸交于點C.連接AC、BC.
(1)若△ABC是直角三角形(圖1),求二次函數的解析式;
(2)在(1)的條件下,將拋物線沿y軸的負半軸向下平移k(k>0)個單位,使平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點,求k的值;
(3)當點C坐標為(0,4)時(圖2),P、Q兩點同時從C點出發(fā),點P沿折線COB運動到點B,點Q沿拋物線(在第一象限的部分)運動到點B,若P、Q兩點的運動速度相同,請問誰先到達點B?請說明理由.(參考數據:.6,)
【答案】(1);(2);(3)點P先到達點B.
【解析】
(1)根據已知的拋物線解析式,可求得A、B的坐標,在Rt△ABC中,OC⊥AB,利用射影定理的得到OC2=OAOB(或由相似三角形證得),即可得到OC的長,從而確定C點的坐標,將其代入拋物線的解析式中,即可確定a的值,從而求出該拋物線的解析式;
(2)根據(1)所得拋物線的解析式,可求出其頂點坐標,由于函數圖象的平移方法已經確定,即沿y軸負半軸向下平移,若拋物線與坐標軸只有兩個交點,則有兩種情況:
①C、O重合,此時拋物線向下平移了OC長個單位,
②拋物線的頂點落在x軸上,此時拋物線向下平移的單位長度與(1)的拋物線的頂點縱坐標相同,
綜合上述兩種情況,即可求得k的值;
(3)當C(0,4)時,可根據其坐標確定此時拋物線的解析式,進而求得其頂點D的坐標;P點的移動距離易求得(即OC+OB),而Q點的軌跡是一條曲線,無法直接求得,因此需要化曲為直,間接的和P點的移動距離進行比較;連接CD、BD,根據B、C、D三點坐標,即可求得CD、BD的長,從而確定BD+CD同OC+OB的大小關系,顯然Q點移動距離要大于CD+BD,這樣就判斷出P、Q兩點的路程誰大誰小,由于兩點的速度相同,那么路程短的就先到達B點.
解:拋物線y=a(x+1)(x﹣4)與x軸的交點為A(﹣1,0)、B(4,0).
(1)若△ABC是直角三角形,只有∠ACB=90°.
由題意易得△ACO∽△COB,
∴,
∴,
∴CO=2
∵拋物線開口向下,
∴C(0,2)
把C(0,2)代入得:
(0+1)(0﹣4)a=2,
∴;
(2)由可得:
拋物線的頂點為(,),點C(0,2),
當點C向下平移到原點時,
平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點,
∴k=2
當頂點向下平移到x軸時,
平移后的拋物線與坐標軸只有兩個交點,
∴;
(3)當點C為(0,4)時,拋物線的解析式為y=﹣(x+1)(x﹣4),
拋物線的頂點為D(,)
連接DC、DB
∵D(,),B(4,0),C(0,4),
∴CD=,
DB=;
∴CD+DB=2.7+6.75=9.45
∵CO+OB=4+4=8,
∴DB+DC>CO+OB
由函數圖象可知第一象限內的拋物線的長度比CD+DB還要長
所以第一象限內的拋物線的長度要大于折線C→O→B的長度
所以點P先到達點B.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線l:y=x+1交y軸于點A1,點A2,A3,…,An在直線l上,點B1,B2,B3,…,Bn在x軸的正半軸上,若△OA1B1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,△AnBn﹣1Bn依次均為等腰直角三角形,則點B1的坐標是_____;點Bn的坐標是_____.
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【題目】如圖,△ABC為直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四邊形DEFG為矩形,DE=2cm,EF=6cm,且點C、B、E、F在同一條直線上,點B與點E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移,當點C與點F重合時停止.設Rt△ABC與矩形DEFG的重疊部分的面積為ycm2,運動時間xs.能反映ycm2與xs之間函數關系的大致圖象是( 。
A. B. C. D.
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【題目】某公園的人工湖邊上有一座假山,假山頂上有一豎起的建筑物CD,高為10米,數學小組為了測量假山的高度DE,在公園找了一水平地面,在A處測得建筑物點D(即山頂)的仰角為35°,沿水平方向前進20米到達B點,測得建筑物頂部C點的仰角為45°,求假山的高度DE.(結果精確到1米,參考數據:sin35°≈,cos35°≈,tan35°≈)
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【題目】如圖,正方形網格中的每個小正方形的邊長都為1,每個小正方形的頂點叫格點.請完成如圖所示的畫圖,要求:①僅用無刻度的直尺,②不寫畫法,保留必要的畫圖痕跡.
(1)在圖1中畫出一條長為的線段MN(M,N分別為格點)
(2)在圖2中畫出一個以格點為頂點,以AB為一邊的正方形ABCD;
(3)在圖3中,E,F分別為格點,畫出線段EF的垂直平分線l.
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【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,點E是邊BC的中點,AF∥ED,AE∥DF
(1)求證:四邊形AEDF為菱形;
(2)試探究:當AB:BC= ,菱形AEDF為正方形?請說明理由.
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【題目】某品牌牛奶供應商提供A,B,C,D四種不同口味的牛奶供學生飲用.某校為了了解學生對不同口味的牛奶的喜好,對全校訂牛奶的學生進行了隨機調查,并根據調查結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據統(tǒng)計圖的信息解決下列問題:
(1)本次調查的學生有多少人?
(2)補全上面的條形統(tǒng)計圖;
(3)扇形統(tǒng)計圖中C對應的中心角度數是_____;
(4)若該校有600名學生訂了該品牌的牛奶,每名學生每天只訂一盒牛奶,要使學生能喝到自己喜歡的牛奶,則該牛奶供應商送往該校的牛奶中,A,B口味的牛奶共約多少盒?
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【題目】如圖,在∠MON中,以點O為圓心,任意長為半徑作弧,交射線OM于點A,交射線ON于點B,再分別以A,B為圓心,OA的長為半徑作弧,兩弧在∠MON的內部交于點C,作射線OC.若OA=5,AB=6,則點B到AC的距離為( )
A. 5 B. C. 4 D.
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【題目】如圖,分別過反比例函數圖象上的點P1(1,y1),P2(2,y2),…,Pn(n,Pn)….作x軸的垂線,垂足分別為A1,A2,…,An …,連接A1P2,A2P3,…,An﹣1Pn,…,再以A1P1,A1P2為一組鄰邊畫一個平行四邊形A1P1B1P2,以A2P2,A2P3為一組鄰邊畫一個平行四邊形A2P2B2P3,依此類推,則點Bn的縱坐標是______________.(結果用含n代數式表示)
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