【題目】已知a,b,c為正數(shù),滿足如下兩個(gè)條件:
a+b+c=32 ①

是否存在以 , 為三邊長(zhǎng)的三角形?如果存在,求出三角形的最大內(nèi)角.

【答案】解:解法1:將①②兩式相乘,得 ,
即: ,
,
,

,
,
,
,
所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0,
即b+a=c或c+a=b或c+b=a.
因此,以 , , 為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形,它的最大內(nèi)角為90°.
解法2:結(jié)合①式,由②式可得 ,
變形,得
又由①式得(a+b+c)2=1024,即a2+b2+c2=1024﹣2(ab+bc+ca),
代入③式,得 ,
即abc=16(ab+bc+ca)﹣4096.(a﹣16)(b﹣16)(c﹣16)=abc﹣16(ab+bc+ca)+256(a+b+c)﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0,
所以a=16或b=16或c=16.
結(jié)合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a.
因此,以 , , 為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形,它的最大內(nèi)角為90°
【解析】根據(jù)題目中的已知條件可變形化簡(jiǎn)可得b+a=c或c+a=b或c+b=a,即以 , , 為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

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